# CUDA Cpp正电子发射断层扫描仪校准和图像重建—蒙特卡洛3D伊辛模型

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{% tab title="关键词" %}
CUDA | C/C++ | 并行计算 | 正电子发射断层扫描 | 蒙特卡洛 | 三维(3D) | 伊辛模型 | 算法 | 网格 | 块 | 矩阵计算 | 线程 | 二维(2D) | GPU | 模拟 | 偏微分方程 | 图像处理 | 数学
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{% tab title="梗概" %}
#### 要点

1. GPU对比CPU计算正弦和：使用单CPU、使用OpenMP库和CUDA
2. CUDA并行计算：3D网格运行内核：线程块，线程线性处理3D数组，并行归约，共享内存，矩阵乘法/平铺矩阵乘法，基本线性代数子程序
3. 平铺分区，矢量加载，warp级内在函数和子 warp，线程发散和同步，联合组
4. 使用 2D 和 3D 模板，迭代求解偏微分方程和图像处理
5. 使用 GPU 纹理硬件执行快速插值，图像配准
6. 蒙特卡洛模拟3D伊辛模型
7. CUDA 流
8. CUDA正电子发射断层扫描仪校准和图像重建
9. GPU扩展

### 矩阵乘法示例

假设我们有两个矩阵，A 和 B。假设A是一个$$n \times m$$矩阵，这意味着它有n行和m列。还假设 B 是 $$m \times w$$ 矩阵。乘法A \* B（与B \* A不同）的结果是一个$$n \times w$$矩阵，我们称之为M。也就是说，结果矩阵的行数等于第一个矩阵 A 的行数和第二个矩阵 B​ 的列数。

为什么会发生这种情况以及它是如何运作的？这里两个问题的答案是相同的。我们以 M 的单元格 1,1（第一行，第一列）为例。运算 M=A \* B 后其中的数字是 A 第 1 行中的数字与 B 第 1 列中的数字的所有逐元素乘法之和。也就是说，在 M 的单元格 i, j 中，我们得到了 A 中第 i 行和 B 中第 j​ 列中所有数字的逐元素乘法之和。

下图直观地解释了这个想法：

现在应该很清楚为什么矩阵-矩阵乘法是并行计算的一个很好的例子了。我们必须计算 C 中的每个元素，并且每个元素彼此独立，因此我们可以有效地并行化。

我们将看到实现这一目标的不同方法。我们的目标是在本文中添加新概念，最终形成一个 2D 内核，它使用共享内存来有效地优化操作。

#### 网格和块

当我们使用指令 <<< >>> 调用内核时，我们自动定义一个 dim3 类型变量，定义每个网格的块数和每个块的线程数。

事实上，网格和块分别是块和线程的 3D 数组。当我们在调用内核之前定义它们时，这一点很明显，如下所示：

```cpp
dim3 blocksPerGrid(512, 1, 1)
dim3 threadsPerBlock(512, 1, 1)
kernel<<<blocksPerGrid, threadsPerBlock>>>()
```

当我们现在处理矩阵时，我们想要指定第二个维度（同样，我们可以省略第三个维度）。这对于使线程正常工作非常有用，有时甚至是必不可少的。

事实上，通过这种方式，我们可以按照前面示例中所遵循的相同方式来引用 x和 y​ 轴。 我们看一下代码：

```cpp
 int row = blockIdx.y * blockDim.y + threadIdx.y;
 int col = blockIdx.x * blockDim.x + threadIdx.x;
```

正如您所看到的，它们的代码相似。 在 CUDA 中，blockIdx、blockDim 和 threadIdx 是具有成员 x、y 和 z 的内置函数。 它们在 C 中被索引为法线向量，因此介于 0 和最大数减 1 之间。例如，如果我们的网格维度为blocksPerGrid = (512, 1, 1)，则 blockIdx.x 的范围将在 0 到 511 之间。

使用多维块意味着您必须小心地在所有维度之间分配这个数量的线程。 在 1D 块中，x 轴最多可以设置 1024 个线程，但在 2D 块中，如果将 y 的大小设置为 2，则 x 不能超过 512！ 例如，允许使用dim3threadsPerBlock(1024, 1, 1)，以及dim3threadsPerBlock(512, 2, 1)，但不允许使用dim3threadsPerBlock(256, 3, 2)。

#### 内核

现在我们已经有了执行任务所需的所有信息，让我们看一下内核代码。为了简单起见，我们将在示例中使用方阵 N \times N 矩阵。

正如我们已经看到的，要做的第一件事是确定 x 和 y 轴索引（即行号和列号）：

```cpp
__global__ void multiplication(float *A, float* B, float *C, int N){
   int ROW = blockIdx.y*blockDim.y+threadIdx.y;
   int COL = blockIdx.x*blockDim.x+threadIdx.x;
```

...

**代码**

矩阵类

```cpp
#include <stdexcept>
#include <algorithm>
#include <cuda_runtime.h>

template <class T>
class dev_array
{
// public functions
public:
    explicit dev_array()
        : start_(0),
          end_(0)
    {}

    // constructor
    explicit dev_array(size_t size)
    {
        allocate(size);
    }
    // destructor
    ~dev_array()
    {
        free();
    }

    // resize the vector
    void resize(size_t size)
    {
        free();
        allocate(size);
    }

    // get the size of the array
    size_t getSize() const
    {
        return end_ - start_;
    }

    // get data
    const T* getData() const
    {
        return start_;
    }

    T* getData()
    {
        return start_;
    }

    // set
    void set(const T* src, size_t size)
    {
        size_t min = std::min(size, getSize());
        cudaError_t result = cudaMemcpy(start_, src, min * sizeof(T), cudaMemcpyHostToDevice);
        if (result != cudaSuccess)
        {
            throw std::runtime_error("failed to copy to device memory");
        }
    }
    // get
    void get(T* dest, size_t size)
    {
        size_t min = std::min(size, getSize());
        cudaError_t result = cudaMemcpy(dest, start_, min * sizeof(T), cudaMemcpyDeviceToHost);
        if (result != cudaSuccess)
        {
            throw std::runtime_error("failed to copy to host memory");
        }
    }


// private functions
private:
    // allocate memory on the device
    void allocate(size_t size)
    {
        cudaError_t result = cudaMalloc((void**)&start_, size * sizeof(T));
        if (result != cudaSuccess)
        {
            start_ = end_ = 0;
            throw std::runtime_error("failed to allocate device memory");
        }
        end_ = start_ + size;
    }

    // free memory on the device
    void free()
    {
        if (start_ != 0)
        {
            cudaFree(start_);
            start_ = end_ = 0;
        }
    }

    T* start_;
    T* end_;
};

#endif
```

矩阵乘法处理

```cpp
#include <stdexcept>
#include <algorithm>
#include <cuda_runtime.h>

template <class T>
class dev_array
{
// public functions
public:
    explicit dev_array()
        : start_(0),
          end_(0)
    {}

    // constructor
    explicit dev_array(size_t size)
    {
        allocate(size);
    }
    // destructor
    ~dev_array()
    {
        free();
    }

    // resize the vector
    void resize(size_t size)
    {
        free();
        allocate(size);
    }

    // get the size of the array
    size_t getSize() const
    {
        return end_ - start_;
    }

    // get data
    const T* getData() const
    {
        return start_;
    }

    T* getData()
    {
        return start_;
    }

    // set
    void set(const T* src, size_t size)
    {
        size_t min = std::min(size, getSize());
        cudaError_t result = cudaMemcpy(start_, src, min * sizeof(T), cudaMemcpyHostToDevice);
        if (result != cudaSuccess)
        {
            throw std::runtime_error("failed to copy to device memory");
        }
    }
    // get
    void get(T* dest, size_t size)
    {
        size_t min = std::min(size, getSize());
        cudaError_t result = cudaMemcpy(dest, start_, min * sizeof(T), cudaMemcpyDeviceToHost);
        if (result != cudaSuccess)
        {
            throw std::runtime_error("failed to copy to host memory");
        }
    }


// private functions
private:
    // allocate memory on the device
    void allocate(size_t size)
    {
        cudaError_t result = cudaMalloc((void**)&start_, size * sizeof(T));
        if (result != cudaSuccess)
        {
            start_ = end_ = 0;
            throw std::runtime_error("failed to allocate device memory");
        }
        end_ = start_ + size;
    }

    // free memory on the device
    void free()
    {
        if (start_ != 0)
        {
            cudaFree(start_);
            start_ = end_ = 0;
        }
    }

    T* start_;
    T* end_;
};

#endif
```

内核头文件

内核CUDA处理

### 正电子发射断层扫描

临床正电子发射断层扫描的工作原理是，首先向受试者注射含有短寿命放射性同位素（例如 18F）的药物，该同位素会因发射正电子而衰变。 发射的正电子将与受试者组织中附近的电子湮灭，产生一对背靠背的伽马射线，这可以在周围的伽马探测器阵列中作为巧合事件进行检测。

PET 扫描仪中使用的典型探测器由光电倍增管观察的闪烁晶体组成。 晶体吸收伽马射线的能量并将其转换为可见光范围内的光子，进而在光电倍增管中产生信号。 重合事件中的两个探测器定义了一条响应线，衰变事件沿着这条响应线发生。 较旧的 PET 探测器的时间分辨率为几纳秒，足以找到真正湮没事件之间的重合，同时拒绝大多数其他背景来源。 然而，这个时间并不足以提供有关特定衰变事件发生在响应线上的位置的任何有用信息。 临床 PET 扫描可能涉及采集数十亿个 LOR，因此可以通过统计分析来重建受试者体内最可能的活动分布。 重建的活动通常显示为 3D 笛卡尔体素网格，其中 x-y 平面位于扫描仪的横向平面中，z 轴与探测器形成的圆柱体的轴对齐。

一种流行的图像重建算法是最大似然期望最大化方法，如果每个响应线中观察到的衰变数量遵循基础放射性衰变过程的泊松分布，则该算法在理论上是最佳的。

最大似然期望最大化方法是迭代的，并使用如下方程式中所示的看似简单的公式：

$$a_v^{n+1}=\frac{a_v^n}{\sum_{l^{\prime}=1}^{N_l} S_{v l^{\prime}}} \sum_{l=1}^{N_l} \quad \frac{m_l S_{v l}}{\sum_{v^{\prime}=1}^{N_v} a_{v^{\prime}}^n S_{v^{\prime} l}}$$\


其中 $$a_v^n$$ 是迭代 n 时体素 v 的估计活动，$$m_l$$ 是响应线 l 中测量的衰减数，$$S_{v l}$$ 是 PET 系统矩阵 (SM)。 SM 元素 $$S_{v l}$$ 定义为在 LOR l 中检测到体素 v 衰减的概率。 迭代通常是通过为所有 $$a_v^0$$ 分配相等的值来开始的。 总和限值 $$N_l$$ 和 $$N_v$$ 是涉及的响应线和体素的总数。

### 伊辛模型

该模型在固态物理学中众所周知，涉及在任意维数的等间隔网格上排列的自旋二分之一粒子的演化。 在这里我们将讨论适用于实体的 3D 网格。 在每个网格点，我们放置一个自旋为 S 的对象，其中 S 可以为 $$\pm 1$$。 每个自旋都受到其邻居的作用，使得平行自旋的能量低于反平行自旋，并且自旋网格位置 (x, y, z)​ 的最终能量可以取为：

$$E=J\left(S_{x-1, y, z}+S_{x+1, y, z}+S_{x, y-1, z}+S_{x, y+1, z}+S_{x, y, z-1}+S_{x, y, z+1}\right) S_{x, y, z}$$\


此式是最简单的伊辛模型，我们只考虑最近邻居之间的相互作用。 常数 J 测量自旋-自旋相互作用的强度，在我们的模拟中我们将其设置为 1。 请注意，如果大多数相邻自旋与 $$S_{x, y, z}$$ 平行，则 E 将为正；如果它们大多反平行，则 E 将为负。 在模拟中，我们测试单个任意旋转并根据框中显示的标准翻转它。

### 蒙特卡洛

蒙特卡洛方法的科学应用一直很重要，并且随着计算能力的增长和可用性，其应用的重要性不断增长。 如今，它们已成为许多科学领域的重要工具。 简单来说，这些应用程序可以分为两类： (a) 积分，在其域中的随机点上对某些函数进行采样；(b) 模拟，使用随机数来模拟随机过程来研究某些物理系统或实验设备的行为。 好的随机数生成器是计算机在科学领域的许多应用的重要工具。

### CUDA Cpp并行计算编程

1. GPU对比CPU计算正弦和：使用单CPU、使用OpenMP库和CUDA
2. CUDA并行计算：3D网格运行内核：线程块，线程线性处理3D数组，并行归约，共享内存，矩阵乘法/平铺矩阵乘法，基本线性代数子程序
3. 平铺分区，矢量加载，warp级内在函数和子 warp，线程发散和同步，联合组
4. 使用 2D 和 3D 模板，迭代求解偏微分方程和图像处理
5. 使用 GPU 纹理硬件执行快速插值，图像配准
6. CUDA 流
7. GPU扩展\

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[zhi-dian-mi-jin-brief](../zhi-dian-mi-jin-brief)
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