🍠Python(PyTorch)硅光电倍增管和量化感知训练亚光子算法验证

Python(PyTorch)硅光电倍增管和量化感知训练亚光子算法验证 | 亚图跨际viadean on Notion

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光学散射用例 | 亚图跨际viadean on Notion

🍪语言内容分比

🍇PyTorch爱因斯坦矩阵矢量

在数学中，尤其是数学物理和微分几何中线性代数的使用，爱因斯坦符号（也称为爱因斯坦求和约定或爱因斯坦求和符号）是一种符号约定，它意味着对公式中的一组索引项求和，从而实现简洁。作为数学的一部分，它是里奇演算的符号子集。然而，它经常用于不区分正切和余切空间的物理应用中。它是由阿尔伯特·爱因斯坦于 1916 年引入物理学的。

根据约定，当索引变量在一项中出现两次且未另行定义时，则意味着该项对所有索引值的求和。因此，索引的范围可以在集合 $\{1,2,3\}$ 上，

$$y=\sum_{i=1}^3 c_i x^i=c_1 x^1+c_2 x^2+c_3 x^3$$

简化为：

$$y=c_i x^i$$

上面的索引不是指数，而是坐标、系数或基向量的索引。也就是说，在这种情况下，$x^2$ 应该被理解为 $x$ 的第二个分量，而不是$x$ 的平方（这有时会导致歧义）。 $x^i$ 中的上索引位置之所以如此，是因为索引在术语的上位置（上标）和下位置（下标）中出现一次。通常，$\left(x^1 x^2 x^3\right)$ 相当于传统的 $(x y z)$。

代码示例

使用爱因斯坦符号和 einsum 函数，我们只需使用一个函数就可以计算向量和矩阵：torch.einsum(equation, *operands)。

让我们看一个简短的例子：

 torch.einsum(‘ik, kj->ij’, X, Y)

此处是矩阵乘法。 i和j是所谓的自由索引，k是求和索引。后者可以定义为发生求和的索引。如果我们将矩阵乘法想象为嵌套循环，i 和 j 将是外部循环，k 循环将是求和循环：

转置：

 import torch
 ​
 X = torch.rand((4, 5))
 Y = torch.rand((5, 2))
 Z = torch.empty((4, 2))
 ​
 for i in range(X.shape[0]):
     for j in range(Y.shape[1]):
         total = 0
         for k in range(X.shape[1]):
             total += X[i,k] * Y[k,j]
         Z[i,j] = total

其可能用于其他用途，但转置向量或矩阵似乎是最著名的用例。

求和：

 import torch
 ​
 X = torch.rand((2, 3))
 ​
 a = torch.einsum('ij->', X)
 torch.sum(X)
 ​
 print(a) 

简单求和，我们不返回索引。输出是一个标量。或者，准确地说，是一个只有一个值的张量。

行和列求和：

 import torch
 ​
 X = torch.rand((2, 3))
 ​
 a = torch.einsum('ij->i', X)
 torch.sum(X, axis=1)
 ​
 print(a)  
 ​
 b = torch.einsum('ij->j', X)
 torch.sum(X, axis=0)
 ​
 print(b) 

逐元素乘法：

 import torch
 ​
 X = torch.rand((3, 2))
 Y = torch.rand((3, 2))
 ​
 A = torch.einsum('ij, ij->ij', X, Y)
 torch.mul(X, Y)  # or X * Y
 ​
 print(A)
 ​

点积：

 import torch
 ​
 v = torch.rand((3))
 c = torch.rand((3))
 ​
 a = torch.einsum('i, i->', v, c)
 torch.dot(v, c)
 ​
 print(a) 

外积：

 import torch
 ​
 v = torch.rand((3))
 t = torch.rand((3))
 ​
 A = torch.einsum('i, j->ij', v, t)
 torch.outer(v, t)
 ​
 print(A)
 ​

矩阵向量乘法

 import torch
 ​
 X = torch.rand((3, 3))
 y = torch.rand((1, 3))
 ​
 A = torch.einsum('ij, kj->ik', X, y)
 torch.mm(X, torch.transpose(y, 0, 1))  # or torch.mm(X, y.T)
 ​
 print(A)
 ​

矩阵矩阵乘法

 import torch
 ​
 X = torch.arange(6).reshape(2, 3)
 Y = torch.arange(12).reshape(3, 4)
 ​
 A = torch.einsum('ij, jk->ik', X, Y)
 torch.mm(X, Y)
 ​
 print(A)

批量矩阵乘法

 import torch
 ​
 X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
 Y = torch.arange(40).reshape(2, 4, 5)
 ​
 A = torch.einsum('ijk, ikl->ijl', X, Y)
 torch.bmm(X, Y)
 ​
 print(A)
 ​