🍠Python政府短期或长期债务李嘉图等价模型状态矩阵

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Python政府短期或长期债务李嘉图等价模型状态矩阵 | Notionviadean on Notion

🏈指点迷津 | Brief

🎯要点

🎯居民消费，财政用途：🖊贴现未来单期公用事业 | 🖊无风险单期贷款毛利率 | 🎯完全和不完全市场中居民消费：🖊计算完全市场、不完全市场中消费和债务发展趋势 | 🖊有限状态马尔可夫模拟费用收入 | 🎯完全和不完全市场税收：🖊有限状态马尔可夫模拟完全市场，政府单期支出和累积回报 | 🖊马尔可夫模拟：和平时期政府预算，战争时期政府预算 | 🖊马尔可夫跳跃于和平期和战争期，模拟政府预算 | 🎯马尔可夫跳跃过程：🖊计算单期收益 | 🖊李嘉图-巴罗效应模型（也称为李嘉图等价）：计算政府税收和借贷 | 🎯最优财政政策规划：🖊拉姆齐定价规划税率、税收收入、政府债务的动态 | 🎯全球化两国创新周期轨迹模拟。

🎯资产价格：Python和MATLAB及C++资产价格看涨看跌对冲模型和微积分

🎯风险获利：Python流动性做市风险获利 | 信息不对称买卖数学模型

🎯市场流动性：Python | C++ | MATLAB | Julia | R 市场流动性数学预先评估量

🎯市场机制：Python牛市熊市横盘机制 | 缺口分析 | 头寸调整算法

🎯金融数学：C++和Python计算金融数学方程算法模型

🍇Python宏观经济学矩估计

矩估计就是模拟模型数据$S$次，并使用模拟数据中矩的平均值作为模型矩的估计量。令 $\tilde{x}=\left\{\tilde{x}_1, \tilde{x}_2, \ldots \tilde{x}_s, \ldots \tilde{x}_S\right\}$为模型数据的$S​$模拟。

$$\hat{m}(\tilde{x} \mid \theta)=\frac{1}{S} \sum_{s=1}^S m\left(\tilde{x}_s \mid \theta\right)$$

一旦我们从 S 模拟中估计出模型矩 $\hat{m}(\tilde{x} \mid \theta)$，矩估计就与我们对广义矩法的介绍非常相似。估计参数向量 $\hat{\theta}_{S M M}$的矩估计法是选择 $\theta$ 来最小化数据矩$m(x)$ 与模拟模型矩的距离度量$\hat{m}(\tilde{x} \mid \theta)$。

$$\hat{\theta}_{S M M}=\theta: \quad \min _\theta|| \hat{m}(\tilde{x} \mid \theta)-m(x)||$$

在此，矩估计量如下：

$$\hat{\theta}_{S M M}=\theta: \quad \min _\theta e(\tilde{x}, x \mid \theta)^T W e(\tilde{x}, x \mid \theta)$$

其中 W 是准则函数中的 $R \times R$ 权重矩阵。现在，将此加权矩阵视为单位矩阵。我们将二次形式表达式 $e(\tilde{x}, x \mid \theta)^T W e(\tilde{x}, x \mid \theta)$ 称为准则函数，因为它是严格正标量，即矩估计问题陈述中最小化的对象。准则函数中的$R \times R$ 加权矩阵$W$ 允许计量经济学家控制最小化问题中每个时刻的加权方式。例如，$W$ 的 $R \times R$ 单位矩阵将为每个时刻赋予相等的权重，而标准函数将是偏差百分比（误差）的简单平方和。其他加权策略可以由问题或模型的性质决定。

矩估计需要强调的最后一项是，为模型的 $S$ 模拟绘制的误差必须仅绘制一次，以便最小化问题$\hat{ \theta}_{S M M}$ 不会因 $\theta$ 值的每次猜测而改变底层采样。更简单地说，您希望所有模拟的随机抽取保持不变，以便最小化问题中唯一改变的是参数向量 $\theta$ 的值。

💦正态分布拟合到中等宏观经济学测试分数

数据位于文本文件 tpts.txt 中。回想一下，这些测试分数在 0 到 450 之间。下图显示了数据的直方图，以及三个截断的正常概率密度函数。黑线是截断的正态概率密度函数的 $\mu$和 $\sigma$ 的机器学习估计。红线和绿线只是截断法线参数 $\mu$ 和$\sigma$ 的两个“任意”选择的组合的概率密度函数。

 import requests
 from IPython.display import Image
 ​
 url = ('https://raw.githubusercontent.com/Notebooks/' +
        'master/DMM/images/Mplots.png')
 image_file = requests.get(url, allow_redirects=True)
 open('Mplots.png', 'wb').write(image_file.content)
 Image("Mplots.png")

让我们尝试根据矩估计的截断正态分布来估计参数 $\mu$和 $\sigma$​。我们应该利用哪些时刻？让我们尝试一下数据的均值和方差。这两个数据统计定义为：

$$\begin{gathered} \text { mean }\left(\operatorname{scores}_i\right)=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \operatorname{scores}_i \\ \operatorname{var}\left(\operatorname{scores}_i\right)=\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N\left(\operatorname{scores}_i-\operatorname{mean}\left(\operatorname{scores}_i\right)\right)^2 \end{gathered}$$

因此，矩估计的数据矩向量 $m(x)$如下

$$m\left(\operatorname{scores}_i\right) \equiv\left[\begin{array}{c} \operatorname{mean}\left(\operatorname{scores}_i\right) \\ \operatorname{var}\left(\operatorname{scores}_i\right) \end{array}\right]$$

测试分数的一次模拟（某次模拟）会是什么样子？数据文件 tpts.txt 中有 161 个测试分数观测值。因此，一次模拟（某次模拟）将是从参数 $\mu、\sigma$ 和截断值 =450 的截断正态分布中抽取 161 个测试分数。

 import numpy as np
 import numpy.random as rnd
 import numpy.linalg as lin
 import scipy.stats as sts
 import scipy.integrate as intgr
 import scipy.optimize as opt
 import matplotlib
 import matplotlib.pyplot as plt
 from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
 from matplotlib import cm
 cmap1 = matplotlib.cm.get_cmap('summer')
 ​
 %matplotlib notebook

 url = ('https://raw.githubusercontent.com/Notebooks/' +
        'master/DMM/data/tpts.txt')
 data_file = requests.get(url, allow_redirects=True)
 open('tpts.txt', 'wb').write(data_file.content)
 ​
 pts = np.loadtxt('tpts.txt')

令随机变量 $y \sim N(\mu, \sigma)$ 服从均值 $\mu$和标准差 $\sigma$ 的正态分布，概率密度函数为 $\phi(y \mid \mu, \sigma)$和累积密度函数由$\Phi(y \mid \mu, \sigma)$给出。随机变量 $x \in(a, b)$ 的截断正态分布基于 y，但截止值为 $a \geq-\infty$ 作为下限，$a<b \leq \infty$ 为上限具有以下概率密度函数。

$$f(x \mid \mu, \sigma, a, b)=\left\{\begin{array}{l} 0 \text { if } \quad x \leq a \\ \frac{\phi(x \mid \mu, \sigma)}{\Phi(b \mid \mu, \sigma)-\Phi(a \mid \mu, \sigma)} \\ 0 \quad \text { if } \quad x \geq b \end{array} \quad \text { if } a<x<b\right.$$

截断法线的累计密度函数可以表示为：

$$F(x \mid \mu, \sigma, a, b)=\left\{\begin{array}{l} 0 \quad \text { if } \quad x \leq a \\ \frac{\Phi(x \mid \mu, \sigma)-\Phi(a \mid \mu, \sigma)}{\Phi(b \mid \mu, \sigma)-\Phi(a \mid \mu, \sigma)} \\ 0 \quad \text { if } \quad x \geq b \end{array} \quad \text { if } a<x<b\right.$$

请注意，z 只是 p 的变换，使得$z \sim U\left(\Phi^{-1}(a \mid \mu, \sigma), \Phi^{-1}(b \mid \mu, \sigma)\right)​$。

定义函数，根据截断正态分布给出概率密度函数值

 def trunc_norm_pdf(xvals, mu, sigma, cut_lb, cut_ub):
 ​
     if (cut_lb == None) & (cut_ub == None):
         cut_ub_cdf = 1.0
         cut_lb_cdf = 0.0
 ​
     elif (cut_lb != None) & (cut_ub == None):
         cut_ub_cdf = 1.0
         cut_lb_cdf = sts.norm.cdf(cut_lb, loc=mu, scale=sigma)
 ​
     elif (cut_lb == None) & (cut_ub != None):
         cut_ub_cdf = sts.norm.cdf(cut_ub, loc=mu, scale=sigma)
         cut_lb_cdf = 0.0
 ​
     elif (cut_lb != None) & (cut_ub != None):
         cut_ub_cdf = sts.norm.cdf(cut_ub, loc=mu, scale=sigma)
         cut_lb_cdf = sts.norm.cdf(cut_lb, loc=mu, scale=sigma)
     
     pdf_vals = (sts.norm.pdf(xvals, loc=mu, scale=sigma) /
                 (cut_ub_cdf - cut_lb_cdf))
     
     return pdf_vals

定义从截断的结果中提取 N x S 测试分数值的函数

 def trunc_norm_draws(unif_vals, mu, sigma, cut_lb, cut_ub):
 ​
     if (cut_lb == None) & (cut_ub == None):
         cut_ub_cdf = 1.0
         cut_lb_cdf = 0.0
 ​
     elif (cut_lb != None) & (cut_ub == None):
         cut_ub_cdf = 1.0
         cut_lb_cdf = sts.norm.cdf(cut_lb, loc=mu, scale=sigma)
 ​
     elif (cut_lb == None) & (cut_ub != None):
         cut_ub_cdf = sts.norm.cdf(cut_ub, loc=mu, scale=sigma)
         cut_lb_cdf = 0.0
 ​
     elif (cut_lb != None) & (cut_ub != None):
         cut_ub_cdf = sts.norm.cdf(cut_ub, loc=mu, scale=sigma)
         cut_lb_cdf = sts.norm.cdf(cut_lb, loc=mu, scale=sigma)
     
     unif2_vals = unif_vals * (cut_ub_cdf - cut_lb_cdf) + cut_lb_cdf
     tnorm_draws = sts.norm.ppf(unif2_vals, loc=mu, scale=sigma)
     
     return tnorm_draws

从平均值 $\mu=300, \sigma=30$ 的截断正态分布中模拟 161 个测试分数会是什么样子？

 mu_1 = 300.0
 sig_1 = 30.0
 cut_lb_1 = 0.0
 cut_ub_1 = 450.0
 unif_vals_1 = sts.uniform.rvs(0, 1, size=161)
 draws_1 = trunc_norm_draws(unif_vals_1, mu_1, sig_1,
                            cut_lb_1, cut_ub_1)
 print('Mean score =', draws_1.mean())
 print('Variance of scores =', draws_1.var())
 print('Standard deviation of scores =', draws_1.std())
 ​
 ​
 count_d, bins_d, ignored_d = \
     plt.hist(pts, 30, density=True, color='b', edgecolor='black',
              linewidth=0.8, label='Data')
 count_m, bins_m, ignored_m = \
     plt.hist(draws_1, 30, density=True, color='r', edgecolor='black',
              linewidth=0.8, label='Simulated data')
 xvals = np.linspace(0, 450, 500)
 plt.plot(xvals, trunc_norm_pdf(xvals, mu_1, sig_1, cut_lb_1, cut_ub_1),
          linewidth=2, color='k', label='PDF')
 plt.title('Econ 381 scores: 2011-2012', fontsize=20)
 plt.xlabel('Total points')
 plt.ylabel('Percent of scores')
 plt.xlim([0, 550])  
 plt.legend(loc='upper left')

通过该模拟，我们可以根据模拟数据计算矩，就像根据实际数据计算矩一样。