🍠Python | MATLAB | R 心理认知数学图形模型推断

关键词

Python | MATLAB | R | 数学 | 二元 | 高斯 | 贝叶斯 | 统计 | 概率 | 先验 | 后验 | 概率差 | 图形模型 | 智商 | 皮尔逊相关性 | 时间 | 记忆 | 信号 | 外部物理刺激 | 内部心理 | 感觉 | 超感知 | 语义相关 | 连续回忆 | 尺度不变记忆 | 感知和学习 | 风险判断 | 偏好 | 个体心里差异 | 多维心理刺激 | 个体相似性

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🏈指点迷津 | Brief

🎯要点

🎯图形模型推断二元过程概率：🖊模型1：确定成功率 θ 的后验分布 | 🖊模型2：确定两个概率差 \delta 的后验分布 | 🖊模型3：确定底层概率，后验预测 | 🖊模型4：推断概率分布和试验次数。

模型1 分布：

θ∼Beta⁡(1,1)k∼Binomial⁡(θ,n)\begin{aligned} & \theta \sim \operatorname{Beta}(1,1) \\ & k \sim \operatorname{Binomial}(\theta, n)\end{aligned}

模型2 分布：

k1∼Binomial⁡(θ1,n1)k2∼Binomial⁡(θ2,n2)θ1∼Beta⁡(1,1)θ2∼Beta⁡(1,1)δ←θ1−θ2\begin{aligned} k_1 & \sim \operatorname{Binomial}\left(\theta_1, n_1\right) \\ k_2 & \sim \operatorname{Binomial}\left(\theta_2, n_2\right) \\ \theta_1 & \sim \operatorname{Beta}(1,1) \\ \theta_2 & \sim \operatorname{Beta}(1,1) \\ \delta & \leftarrow \theta_1-\theta_2\end{aligned}

模型3 分布：

k1∼Binomial⁡(θ,n1)k2∼Binomial⁡(θ,n2)θ∼Beta⁡(1,1)\begin{aligned} k_1 & \sim \operatorname{Binomial}\left(\theta, n_1\right) \\ k_2 & \sim \operatorname{Binomial}\left(\theta, n_2\right) \\ \theta & \sim \operatorname{Beta}(1,1)\end{aligned}

模型4 分布：

ki∼Binomial⁡(θ,n)θ∼Beta⁡(1,1)n∼Categorical⁡(1nmax⁡,…,1nmax⁡⏟m)\begin{aligned} k_i & \sim \operatorname{Binomial}(\theta, n) \\ \theta & \sim \operatorname{Beta}(1,1) \\ n & \sim \operatorname{Categorical}(\underbrace{\frac{1}{n_{\max }}, \ldots, \frac{1}{n_{\max }}}_m)\end{aligned}

🎯图形模型高斯推理：:pen:模型5：推断高斯分布生成的数据的平均值和标准差 | :pen:模型6：标准差和观察值添加精度先验，推断高斯平均值 | :pen:模型7：重复测量推断智商

模型5 分布：

μ∼Gaussian⁡(0,0.001)σ∼Uniform⁡(0,10)xi∼Gaussian⁡(μ,1σ2)\begin{aligned} \mu & \sim \operatorname{Gaussian}(0,0.001) \\ \sigma & \sim \operatorname{Uniform}(0,10) \\ x_i & \sim \operatorname{Gaussian}\left(\mu, \frac{1}{\sigma^2}\right)\end{aligned}

模型6分布：

μ∼Gaussian⁡(0,0.001)λi∼Gamma⁡(0.001,0.001)σi←1/λixi∼Gaussian⁡(μ,λi)\begin{aligned} \mu & \sim \operatorname{Gaussian}(0,0.001) \\ \lambda_i & \sim \operatorname{Gamma}(0.001,0.001) \\ \sigma_i & \leftarrow 1 / \sqrt{\lambda_i} \\ x_i & \sim \operatorname{Gaussian}\left(\mu, \lambda_i\right)\end{aligned}

模型7分布：

μi∼Uniform⁡(0,300)σ∼Uniform⁡(0,100)xij∼Gaussian⁡(μi,1σ2)\begin{aligned} \mu_i & \sim \operatorname{Uniform}(0,300) \\ \sigma & \sim \operatorname{Uniform}(0,100) \\ x_{i j} & \sim \operatorname{Gaussian}\left(\mu_i, \frac{1}{\sigma^2}\right)\end{aligned}

模型8 分布：

μ1,μ2∼Gaussian⁡(0,0.001)σ1,σ2∼InvSqrtGamma⁡(0.001,0.001)r∼Uniform⁡(−1,1)xi∼MvGaussian⁡((μ1,μ2),[σ12rσ1σ2rσ1σ2σ22]−1)\begin{aligned} \mu_1, \mu_2 & \sim \operatorname{Gaussian}(0,0.001) \\ \sigma_1, \sigma_2 & \sim \operatorname{InvSqrtGamma}(0.001,0.001) \\ r & \sim \operatorname{Uniform}(-1,1) \\ x _i & \sim \operatorname{MvGaussian}\left(\left(\mu_1, \mu_2\right),\left[\begin{array}{cc}\sigma_1^2 & r \sigma_1 \sigma_2 \\ r \sigma_1 \sigma_2 & \sigma_2^2\end{array}\right]^{-1}\right)\end{aligned}

🎯时间和记忆关系 | 🎯心里信号检测 | 🎯外部物理刺激内部心理感觉 | 🎯超感知学 | 🎯语义相关连续回忆 | 🎯尺度不变记忆、感知和学习 | 🎯风险判断和偏好个体心里差异 | 🎯多维心理刺激个体相似性。

🍇Python后验分布采样计算

贝叶斯计算由一系列方法组成，这些方法可以帮助我们从几乎所有后验分布中采样点，从中我们可以对感兴趣的参数进行点估计。

💦方法一

让我们从一个例子开始，如果我们想从后验分布 f(x) 中绘制点，它具有以下函数形式：

f(x)=x1.7(1−x1+x)5.3f(x)=x^{1.7}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{5.3}

我们称这个 f(x) 为目标分布/密度，然后我们提出一个更简单的分布（候选分布），我们可以从中采样点。我们使用均匀分布 g(x)，希望当将 g(x) 与常数 M 相乘时，Mg(x) 可以包裹 f(x)。此时，M 很容易被选为 f(x) 的最大值。

现在我们首先从另一个均匀分布 Uniform(0,1) 中独立采样，我们将采样点表示为 u。我们还从候选分布 g(x) 中采样，并将采样点表示为 y。我们测试采样点 u 是否符合以下标准：

u≤1Mf(y)g(y)u \leq \frac{1}{M} \frac{f(y)}{g(y)}

如果符合，我们将 y 视为目标分布的样本，否则，我们拒绝 y。乍一看，这一步可能很难理解。其背后的想法是，如果有一个区域，比如 [0.2,0.3]，其中目标密度 f(x) 的密度非常高，那么该区域内的 f(y)/M*g(y) 也会很高，可能接近 1。由于 u 是从标准均匀分布中随机抽取的（u 只是用来控制是拒绝还是接受 y），这个指标更有可能为真，从而导致接受采样的 y。

💦代码

 x = np.linspace(0,1,1000)
 f_x = x**1.7*((1-x)/(1+x))**5.3
 M = f_x.max()
 def f(x):
     return x**1.7*((1-x)/(1+x))**5.3
 def g(x):
     return uniform.pdf(x,loc=0,scale=1)
 ​
 n = 2500
 u = uniform.rvs(loc=0,scale=1,size=n,random_state=1)
 y = uniform.rvs(loc=0,scale=1,size=n,random_state=2)
 f_y = f(y)
 g_y = g(y)
 acc_or_rej = u <= f_y / (M * g_y)
 accepted_y = y[acc_or_rej]
 sns.histplot(accepted_y)

估计的目标分布可以绘制如下（图略）。

💦方法二：

蒙特卡罗方法代表了一类广泛的算法，这些算法依赖于重复随机抽样来估计所需的数量。该数量可能是圆周率值，也可能是陌生函数形式的积分。蒙特卡罗最经典的例子是估计圆周率的值，我们首先从两个标准均匀分布中随机抽取 x 和 y，并询问 x^2+y^2​ 是否 < 1，如果答案为真，则将计数器加 1。在随机抽样结束时，我们可以计算计数器与总迭代次数的比率（如果使用正方形和内切圆的面积公式，则应为 pi/4）。

马尔可夫链是一个随机过程，其中当前值仅取决于其直接前一个值。我非常喜欢的一个简单例子是天气预报，如果我们假设一天的天气有三种可能的状态（晴天、多云、下雨），我们有一个初始分布，其中 p（晴天）=0.6、p（多云）=0.3 和 p（下雨）=0.1，现在给定一个转换核 K，它是一个矩阵

( 晴天  阴天  雨天  晴天 0.50.30.2 阴天 0.30.50.2 雨天 0.20.40.4)\left(\begin{array}{cccc} & \text { 晴天 } & \text { 阴天 } & \text { 雨天 } \\ \text { 晴天 } & 0.5 & 0.3 & 0.2 \\ \text { 阴天 } & 0.3 & 0.5 & 0.2 \\ \text { 雨天 } & 0.2 & 0.4 & 0.4 \end{array}\right)

我们能够使用初始分布和转换内核导出任意一天的状态分布。当我们继续这样做时，如果状态分布保持不变，它就会达到平稳分布。

虽然马尔可夫链的离散场景更容易理解，但我们最终需要将其推广到状态空间无限的连续情况，这意味着我们将拥有无限多个状态，而不是只有三个状态（晴天、多云、下雨）。所以我们需要使用分布来表示每个时间点的状态分布。例如，如果我们说状态的初始分布遵循 Normal(0,3)，那么转移概率也应该是 p(xn+1∣xn)=K(xn+1∣xn)=Normal(xn,0.1)p(x_n+1|x_n) = K(x_n+1|x_n) = Normal(x_n,0.1) 的分布，并且所有上述属性与离散场景保持一致。

现在我们要从目标密度 f(x) 中采样：

f(x)=2x2(1−x)8cos⁡(4πx)2f(x)=2 x^2(1-x)^8 \cos (4 \pi x)^2

假设我们正在创建一个马尔可夫链，其中转换内核 q(x,y)q(x,y)为（其中 x 是当前时间点，y 是最后一个时间点）：

q(x,y)=Normal⁡(y,0.1)q(x, y)=\operatorname{Normal}(y, 0.1)

Metropolis-Hasting (MH) 算法首先初始化向量 x 的第一个值（假设我们将使用 MCMC 采样 n=10,000 个 x 值）x[0] 。然后在每次迭代中，我们首先使用转换内核生成一个 x_cand，并且我们需要计算接受率 alpha 来决定下一个 x 是采用 x_cand 还是仅采用最后一个 x 值。接受率如下所示：

α(xcand ∣xi−1)=min⁡{1,q(xi−1∣xcand )f(xcand )q(xcand ∣xi−1)f(xi−1)}\alpha\left(x_{\text {cand }} \mid x_{i-1}\right)=\min \left\{1, \frac{q\left(x_{i-1} \mid x_{\text {cand }}\right) f\left(x_{\text {cand }}\right)}{q\left(x_{\text {cand }} \mid x_{i-1}\right) f\left(x_{i-1}\right)}\right\}

代码如下：

 def f(x):
     import math
     return 2*x**2*(1-x)**8*math.cos(4*math.pi*x)**2
 def q(x,y):
     return norm.pdf(x,loc=y,scale=0.1)
 ​
 n = 10000
 x = np.zeros(n)
 x[0] = norm.rvs(loc=0,scale=0.1,size=1)[0]
 for i in range(n-1):
     while True:
         x_cand = norm.rvs(loc=x[i],scale=0.1,size=1)[0]
         if x_cand >= 0 and x_cand <= 1:
             break
     if x_cand >= 0 and x_cand <= 1:
         rho = (q(x[i],x_cand)/q(x_cand,x[i]))*(f(x_cand)/f(x[i]))
         alpha = min(1,rho)
         u = uniform.rvs(loc=0,scale=1,size=1)[0]
         if u < alpha:
             x[i+1] = x_cand
         else:
             x[i+1] = x[i]
 sns.histplot(x)
 fig,ax = plt.subplots()
 ax.plot(np.arange(10000),x)

💦分层贝叶斯

 nruns = 10000
 K = 100 
 n = 1000 
 y = np.zeros(K,n)  
 lambda_est = np.zeros(K,nruns)
 sigma_est = np.zeros(nruns)
 mu_est = np.zeros(nruns)
 tau_est = np.zeros(nruns)
 ​
 for i in range(K):
     loc = uniform.rvs(loc=0,scale=10,size=1)[0]
     scale = uniform.rvs(loc=0,scale=0.1,size=1)[0]
     lambda_est[i,0] = norm.rvs(loc=loc,scale=scale,size=1)[0]
 sigma_est[0] = uniform.rvs(loc=0,scale=0.1,size=1)[0]
 mu_est[0] = norm.rvs(loc=uniform.rvs(loc=0,scale=10,size=1)[0],scale=1,size=1)[0]
 tau_est[0] = uniform.rvs(loc=0,scale=0.1,size=1)[0]
 ​
 for runs in range(1,n_runs-1,1):
   
     for i in range(1,K-1):
         mean = i/math.sqrt(1/tau_est[runs-1]) + n/sigma_est[runs-1]
         std = (mean^2)*(mu_est[runs-1]/(tau_est[runs-1])+y[i,:].mean()*n/sigma_est[runs-1])
         lambda_est[i,runs] = norm.rvs(loc=mean,scale=std,size=1)[0]
 ​
     sigma_sum_term = 0
     for i in range(K):
         for j in range(n):
             sigma_sum_term += (y[i,j]-lambda_est[i,runs])**2
     sigma_est[runs] = invgamma(loc=K*n/2,scale=sigma_sum_term/2)
 ​
     tau_sum_term = 0
     for i in range(K):
         tau_sum_term += (lambda_est[i,runs]-mu_est[runs-1])**2
     tau_est[runs] = invgamma(loc=K/2,scale=tau_sum_term/2)
 ​
     mu_est[runs] = norm.rvs(loc=lambda_est[:,runs-1].mean(),scale=math.sqrt(tau_est[runs]/2))
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