Python物理数值解析

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Python物理数值解析

让我们回忆一下库仑定律：来自位于 $r_0$ 处的单个点电荷 $q_0$ 的位于 $P$ 点（位置 $r$ ）的测试电荷 $Q$ 上的力由下式给出：

$\mathbf{F}{0}=k \frac{q{0} Q}{\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}{0}\right)^{2}} \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}{0}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}\right|},\qquad(1)$

其中库仑常数是 $k=1 /\left(4 \pi \epsilon_{0}\right)$ SI 单位（ $\epsilon_{0}$ 是自由空间的介电常数）。力与两个电荷的乘积成正比，与两个电荷之间的距离的平方成反比，并沿着从电荷 $q_0$ 到电荷 $Q$ 的线点。电场就是力 $F_0$ 与电荷 $Q$ 的比值。测试电荷 $Q$ 在测试电荷的大小变为零的极限。在实践中，这给了我们：

$\mathbf{E}{0}(\mathbf{r})=k q{0} \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}{0}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}{0}\right|^{3}},\qquad(2)$

在那里我们取消了 $Q$ ，并借此机会合并了两个分母。这是由 $r_0$ 处的点电荷 $q_0$ 引起的 $r$ 位置处的电场。

如果我们面临多个点电荷，我们可以应用叠加原理： $Q$ 上的合力由作用在 $Q$ 上的各个力的矢量和组成。因此，如果我们处理 $n$ 点电荷 $q_{0}, q_{1}, \ldots, q_{n-1}$ 分别位于 $\mathbf{r}{0}, \mathbf{r}{1}, \ldots, \mathbf{r}_{n-1}$ 处，则情况如图 1.5 所示。为了便于查看，我们的图形是二维的，但形式主义同样适用于三个维度。位置 $r$ 处的总电场为：

$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\sum_{i=0}^{n-1} \mathbf{E}{i}(\mathbf{r})=\sum{i=0}^{n-1} k q_{i} \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}{i}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}{i}\right|^{3}},\qquad(3)$

即，单个电场贡献的总和， $\mathbf{E}_{i}(\mathbf{r})$ 。请注意，您可以考虑空间中任何一点的总电场 $r$ 。另请注意，电场是一个矢量：在空间中的任何点，该 $E$ 都有大小和方向。可视化矢量场的一种方法包括绘制场线，即帮助我们跟踪场方向的假想曲线。更具体地说，给定点的场线的切线为我们提供了该点的电场方向。场线不交叉；它们以正电荷（“源”）开始，以负电荷（“汇”）结束。

绘制场线

我们将在 Python 中绘制电场线；虽然存在更复杂的向量场可视化方法（例如，线积分卷积），但我们在下面描述的内容应该足以让您对事物有定性的感觉。虽然绘图函数（甚至库）的变化往往比编程基础设施的其他方面快得多，但无论具体实现是什么样子，所讨论的原则都适用。

我们面临两个任务：首先，我们需要根据方程式（3）在电荷附近的几个点产生电场（矢量），其次，我们需要以这样一种方式绘制场线，以便我们可以从物理上解释正在发生的事情。和前面的代码一样，我们为每个任务创建一个 Python 函数。为简单起见，我们从一个只有两个点电荷（大小相等，符号相反）的问题开始。此外，我们将自己限制在两个维度上（笛卡尔坐标 x 和 y）。

代码 1.3 是一个 Python 实现，其中为了简单起见，库仑常数被分开。我们首先导入 numpy 和 matplotlib，因为繁重的工作将由函数 streamplot() 完成，该函数需要 NumPy 数组作为输入。我们还导入了平方根和 deepcopy() 函数，它们可以创建一个不同的列表列表。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import sqrt
from copy import deepcopy
def makefield(xs, ys):
	qtopos = {1: (-1,0), -1: (1,0)}
	n = len(xs)
	Exs = [[0. for k in range(n)] for j in range(n)]
	Eys = deepcopy(Exs)
	for j,x in enumerate(xs):
		for k,y in enumerate(ys):
			for q,pos in qtopos.items():
				posx, posy = pos
				R = sqrt((x - posx)**2 + (y - posy)**2)
				Exs[k][j] += q*(x - posx)/R**3
				Eys[k][j] += q*(y - posy)/R**3
	return Exs, Eys
def plotfield(boxl,n):
	...

数值

项目：电磁学中的多极展开

导数

项目：量子力学中的局部动能

矩阵

项目：薛定谔特征值问题

求根

项目：极端化经典力学中的作用

逼近

项目：测试斯特凡-玻尔兹曼定律

积分

项目：变分量子蒙特卡洛

微分方程

项目：二维泊松方程

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让我们回忆一下库仑定律：来自位于 $r_0$ 处的单个点电荷 $q_0$ 的位于 $P$ 点（位置 $r$ ）的测试电荷 $Q$ 上的力由下式给出：

$\mathbf{F}{0}=k \frac{q{0} Q}{\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}{0}\right)^{2}} \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}{0}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}\right|},\qquad(1)$

$\mathbf{E}{0}(\mathbf{r})=k q{0} \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}{0}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}{0}\right|^{3}},\qquad(2)$

在那里我们取消了 $Q$ ，并借此机会合并了两个分母。这是由 $r_0$ 处的点电荷 $q_0$ 引起的 $r$ 位置处的电场。

$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\sum_{i=0}^{n-1} \mathbf{E}{i}(\mathbf{r})=\sum{i=0}^{n-1} k q_{i} \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}{i}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}{i}\right|^{3}},\qquad(3)$

绘制场线

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import sqrt
from copy import deepcopy
def makefield(xs, ys):
	qtopos = {1: (-1,0), -1: (1,0)}
	n = len(xs)
	Exs = [[0. for k in range(n)] for j in range(n)]
	Eys = deepcopy(Exs)
	for j,x in enumerate(xs):
		for k,y in enumerate(ys):
			for q,pos in qtopos.items():
				posx, posy = pos
				R = sqrt((x - posx)**2 + (y - posy)**2)
				Exs[k][j] += q*(x - posx)/R**3
				Eys[k][j] += q*(y - posy)/R**3
	return Exs, Eys
def plotfield(boxl,n):
	...

函数 makefield() 接受两个列表 xs 和 ys，对应于我们希望评估电场的坐标（x 和 y 一起构成 r）。我们还需要某种方式来存储点电荷所在的 $r_i$ 。我们选择将这些存储在字典中，该字典从电荷 $q_i$ 映射到位置 $r_i$ 。对于每个位置 $r$ ，我们需要评估 $\mathbf{E}(\mathbf{r})$ ：在二维中，它由 $E_{x}(\mathbf{r})$ 和 $E_{y}(\mathbf{r})$ 组成，即总电场的两个笛卡尔分量。目前只关注其中一个，比如 $E_{x}(\mathbf{r})$ ，我们意识到我们需要为任何可能的 $r$ 存储它的值，即对于任何可能的 x 和 y 值。我们决定使用由嵌套列表推导式生成的列表列表。然后我们为 $E_{y}(\mathbf{r})$ 创建另一个列表列表。我们需要绘制（即存储）总电场的 x 和 y 分量的值，在所有所需的值向量 r，即在由 xs 和 ys 组成的二维网格上。这需要计算给定 x 的所有可能 y 处的电场（来自给定点电荷 $q_i$ 的贡献），然后迭代所有可能的 x。我们还需要迭代我们的点电荷 $q_i$ 和它们的位置 $r_i$ （即等式（3）的总和中的不同项）；我们通过在 qtopos.items() 中 for q, pos in qtopos.items() 来做到这一点：此时我们将 pos 解包为 posx 和 posy。

数值

项目：电磁学中的多极展开

导数

项目：量子力学中的局部动能

矩阵

项目：薛定谔特征值问题

求根

项目：极端化经典力学中的作用

逼近

项目：测试斯特凡-玻尔兹曼定律

积分

项目：变分量子蒙特卡洛

微分方程

项目：二维泊松方程