🥭Python烟雾液体弹性力微分模拟 | 出租车往返速度微分计算

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🏈指点迷津 | Brief

🎯要点

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🎯算法微分：Python | C++漂移扩散方程和无风险套利公式算法微分

🍇Python微分计算出租车往返速度模型

微分计算的总体目标是计算：

$$\frac{d p_{\text {rogram }}}{d p_{\text {arams }}}$$

即量化程序及其输出对其某些参数的敏感性。

首先，使用传统的、数据独立的代码编写一个程序来估计出租车乘坐的持续时间：

 import numpy as np
 ​
 def linear_predictions(weights, inputs):
     return np.dot(inputs, weights) * 60.0 
 ​
 v_avg = 30 
 startup_time = 2 /60.0 
 ​
 inputs = np.array([[1.0, 6.0],
                    [1.0, 4.0 ]])
 ​
 weights = np.array([startup_time, 1.0 / v_avg]) 
 ​
 print("Predictions:", linear_predictions(weights, inputs))

在此代码中，我们使用某市预先计算的平均速度来计算出租车行程持续时间：大约 30 公里/小时。这是制作程序的传统方法，即数据不影响其参数。我们使用预定义的参数，这里是预先估计的平均速度，将该速度的倒数乘以行程距离，我们就得到了预期的行程持续时间。无论我们运行多少次，它都永远不会改善。它永远不会从错误中吸取教训。

微分计算提供的功能恰恰相反：每次运行都可用于微调应用程序参数。让我们看看这是如何实现的。对于计算机和人类来说都适用的一件事是，为了改进，你需要反馈。理想情况下，您需要一种方法来量化您的错误。

在计算机世界中，这可以通过在我们的初始代码中引入一个新函数来轻松完成，该函数计算相对常见的误差测量：平方误差。

 import numpy as np
 ​
 def linear_predictions(weights, inputs):
 ​
     return np.dot(inputs, weights) * 60.0
 ​
 def squared_loss(weights, inputs, targets):
     preds = linear_predictions(weights, inputs)
     err = (preds - targets)**2
     return np.sum(err)
 ​
 v_avg = 30 
 startup_time = 2 /60.0 
 ​
 inputs = np.array([[1.0, 6.0],
                    [1.0, 4.0 ]])
 targets = np.array([13, 10.5])
 ​
 weights = np.array([startup_time, 1.0 / v_avg])
 print("Trained loss:", squared_loss(weights, inputs, targets))

了解错误后，您需要一种方法来了解需要朝哪个方向修改参数以减少错误。让我们分析一个具体的例子。假设一次旅行的持续时间为 12 分钟，距离为 6 公里。要用我们的模型精确预测这个值，模型的正确参数应该是 30 公里。

让我们看一下平方误差相对于我们的参数（平均速度）的图，以获得一些见解。整个代码很简单：

 import matplotlib.pyplot as plt
 import numpy as np
 ​
 trip_distance = 6.0 
 trip_duration = 12.0 
 trip_avg_speed = 30.0 
 ​
 def duration(distance, speed):
     return distance * 1/speed * 60.0
 ​
 real_duration = duration(trip_distance, trip_avg_speed)
 ​
 speeds = np.linspace(5, 50)
 duration = np.vectorize(lambda speed: duration(trip_distance, speed))(speeds)
 error = 12 - duration
 ​
 fig, ax = plt.subplots()
 ax.grid(True, which='both')
 ​
 ax.plot(speeds, duration, label='Trip duration wrt speed')
 ax.plot(speeds, error, label='Error wrt to speed param')
 ax.scatter([trip_avg_speed], [0], label='Error for real average speed')
 ​
 plt.xlabel('average speed')
 plt.legend()
 plt.show()

蓝色曲线显示了行程持续时间相对于速度的演变。更快的行程显然会导致更短的行程持续时间。橙色曲线将误差显示为实际持续时间（此处为 12 分钟）与给定所选速度的行程持续时间之间的简单差异。对于实际平均速度：30km/h，该误差为零。绿色曲线是平方误差。与误差类似，平均速度为 30 km/h 时达到零。