🍍Python计算物理粒子及拉格朗日和哈密顿动力学

关键词

Python | 数值计算 | 符号计算 | 物理 | 粒子 | 牛顿运动定律 | 微分方程 | 线性 | 欧拉方程 | 谐振子 | 二阶 | 胡克定律 | 阻力 | 二维 三维 | 偏微分方程 | 矢量 | 点积 | 叉积 | 绘图 | 散度 | 旋度 | 极坐标 | 动量 | 角动量 | 势能 | 辛普森法则 | 质心 | 傅里叶 | 微积分 | 非惯性 | 参考系 | 耦合振荡 | 非线性 | 行星 | 深度学习

Python计算物理粒子及拉格朗日和哈密顿动力学 | Notion亞圖跨際 on Notion

🏈page指点迷津 | Brief

🎯要点

1. 运动和计算，牛顿运动定律，🎯Python符号计算粒子速度随时间变化的微分方程，并绘制运动趋势图。

2. 单粒子一维物理运动，数学方程表示和计算：🎯在重力作用下和空气阻力为线性，使用欧拉方法，Python数值计算下降速度微分方程🎯简谐振动，弹簧胡克定律：Python符号计算求二阶微分方程并绘图。🎯非线性力，单粒子经历胡克定律的恢复力，二次阻力，正弦外驱动力，使用欧拉方法，Pythons数值计算二阶常微分方程求解粒子位置和速度，绘制趋势图。

3. 粒子二维和三维物理运动，数学方程表示和计算：🎯Python符号计算和绘制二维粒子运动的参数方程。🎯Python数值计算和绘制三维粒子运动的参数方程。🎯Python符号计算参考系中两个矢量点积。🎯Python符号计算求解两个矢量的叉积。🎯Python数值计算方法创建极坐标图。🎯Python符号计算标量方程，求解偏微分方程。🎯Python符号计算给定矢量方程​的散度。🎯Python符号计算给定矢量方程的旋度。

4. 动量、角动量和多粒子系统：🎯Python 梯形和辛普森法则算法的示例。🎯Python中质心计算的示例。

5. 功动能定理：🎯接近稳定平衡点的运动，Python解转折点处势能函数。

6. 谐波振动运动方程：🎯使用欧拉法，Python数值计算运动方程积分，绘制位置，动能和势能图。🎯Python数值计算驱动谐振子，绘制位置，速度图。🎯Python计算锯齿​方程的傅里叶系数，绘制图形。

7. 变量微积分、拉格朗日和哈密顿动力学、中心力和行星运动、非惯性参考系中的运动、刚体运动、耦合振荡、非线性系统。

🍇Python 深度学习计算拉格朗日乘子示例

在数学优化领域，有一种方法因其优雅和有效性而脱颖而出：拉格朗日乘子。 该方法以著名数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日的名字命名，提供了一种系统方法来解决受等式约束的优化问题。

拉格朗日乘子法的核心是一种用于解决涉及约束的优化问题的技术。 这些限制可以采取多种形式，表示物理限制、预算限制或其他限制。 从数学上讲，如果我们有一个目标函数 f(x)，我们想要最大化或最小化它，同时遵守一组等式约束 $g_i(x)=0$，其中 i 的范围从 1 到 m，我们引入拉格朗日乘子 $λ_1,λ_2 ,...,λ_m$创建拉格朗日函数：

$L(x, \lambda)=f(x)-\sum_{i=1}^m \lambda_i \cdot g_i(x)$

目标是找到优化拉格朗日函数的 x 和 λ 值，从而有效地解决我们的约束优化问题。拉格朗日乘子在优化中发挥着关键作用，原因如下：

• 约束处理：在现实世界中，优化问题通常带有约束。 这些限制可能代表物理限制、预算限制或其他实际限制。 拉格朗日乘子提供了一种优雅且系统的方法来解决这些约束并找到最佳解。

• 多功能性：优化问题出现在各个领域，包括工程、经济学、物理学和机器学习。拉格朗日乘子是一种多功能工具，可以用来解决各种问题。

• 效率：通过引入拉格朗日乘子，我们可以将约束优化问题转化为无约束优化问题，简化优化过程。这种简化通常会带来更有效的算法和解。

让我们绕道来探索一下太空中的拉格朗日点。 这些是太空中迷人而神秘的点，地球和月球等两个巨大天体的引力平衡了较小物体与其轨道运动保持同步所需的向心力。 这场宇宙之舞共有五个拉格朗日点，创造性地命名为L1至L5。 这些点在太空探索、卫星定位、甚至未来的月球基地都有实际应用。

深度学习求解

 import numpy as np
 import tensorflow as tf
 from tensorflow import keras
 ​
 def create_optimizer_model():
     model = keras.Sequential([
         keras.layers.Input(shape=(input_dim,)),
         keras.layers.Dense(64, activation='relu'),
         keras.layers.Dense(output_dim)
     ])
     return model
 ​
 def generate_training_data(num_samples):
     x_data = np.random.rand(num_samples, input_dim)  
     solutions = solve_lagrange(x_data, lambda_data)
     
     return x_data, lambda_data, solutions
 ​
 def custom_loss(y_true, y_pred):
     return tf.reduce_mean(tf.square(y_true - y_pred))
 ​
 input_dim = 10  
 output_dim = 10  
 optimizer_model = create_optimizer_model()
 optimizer_model.compile(optimizer='adam', loss=custom_loss)
 ​
 num_samples = 1000  
 x_train, lambda_train, solutions = generate_training_data(num_samples)
 ​
 optimizer_model.fit([x_train, lambda_train], solutions, epochs=100, batch_size=32)

在此 Python 代码片段中，我们构建了一个能够近似解决拉格朗日乘子问题的神经网络。 我们生成训练数据，包括 x 和 λ 的随机初始值，然后使用传统方法求解方程以获得地面实况解。 随后训练神经网络以最小化自定义损失函数。

为了演示结果，我们可以在测试数据集上评估神经网络模型：

 x_test, lambda_test, true_solutions = generate_training_data(100)
 predicted_solutions = optimizer_model.predict([x_test, lambda_test])
 for i in range(len(x_test)):
     print(f"True Solutions: {true_solutions[i]}")
     print(f"Predicted Solutions: {predicted_solutions[i]}")

运行此代码后，您将查看到深度学习模型基于测试数据集的拉格朗日乘子解的近似程度。