数学问题公式化
−∇2u(x)=f(x),x in Ω,(1)
u(x)=uD(x),x on ∂Ω,(2)
其中，u=u(x) 为未知函数，f=f(x) 为规定函数，∇2 为拉普拉斯算子（常写为 ∇），Ω 为空间域，∂Ω 为 Ω的边界。 泊松问题，包括偏微分方程 −∇2u=f 和 ∂Ω 上的边界条件 u=uD，是边界值问题的一个例子，在开始使用 FEniCS 解决它之前必须精确说明。
在坐标为 x 和 y 的二维空间中，我们可以写出泊松方程为
−∂x2∂2u−∂y2∂2u=f(x,y),(3)
未知数 u 现在是两个变量的函数，u=u(x,y)，在二维域 Ω 上定义。
泊松方程出现在许多物理环境中，包括热传导、静电、物质扩散、弹性杆的扭曲、无粘性流体流动和水波。 此外，该方程出现在更复杂的偏微分方程系统的数值分裂策略中，尤其是 Navier-Stokes 方程。
求解边界值问题（例如 FEniCS 中的泊松方程）包括以下步骤：
有限元变分公式
FEniCS 基于有限元方法，它是 PDE 数值解的通用且高效的数学机器。 有限元方法的起点是以变分形式表示的偏微分方程。
将 PDE 转化为变分问题的基本方法是将 PDE 乘以函数 v，在域 Ω 上对所得方程进行积分，并通过具有二阶导数的部分项进行积分。 乘以 PDE 的函数 v 称为测试函数。 要逼近的未知函数 u 称为试验函数。 术语试验和测试功能也用于 FEniCS 程序。 试验和测试函数属于某些所谓的函数空间，这些函数空间指定了函数的属性
在本例中，我们首先将泊松方程乘以测试函数 v 并在 Ω 上积分：
−∫Ω(∇2u)v dx=∫Ωfv dx,(4)
我们在这里让 dx 表示域 Ω 上积分的微分元素。 我们稍后将让 ds 表示在 Ω 边界上积分的微分元素。
当我们推导出变分公式时，一个常见的规则是我们尽量保持 u 和 v 的导数的阶数尽可能小。 在这里，我们有 u 的二阶空间导数，可以通过应用部分积分技术将其转换为 u 和 v 的一阶导数。 公式是这样写的
−∫Ω(∇2u)v dx=∫Ω∇u⋅∇v dx−∫∂Ω∂n∂uv ds,(5)
其中 ∂n∂u=∇u⋅n 是u 在边界外法线方向n 上的导数。
变分公式的另一个特点是测试函数 v 需要在解 u 已知的边界部分消失。 在当前问题中，这意味着整个边界 ∂Ω 上的 v=0。 因此，等式（5）右边的第二项消失了。 从等式（4）和（5）可以得出
∫Ω∇u⋅∇v dx=∫Ωfv dx,(6)
抽象有限元变分公式
事实证明，为变分问题引入以下规范符号是很方便的：找到 u∈V 使得
a(u,v)=L(v)∀v∈V^,(9)
对于泊松方程，我们有：
a(u,v)=∫Ω∇u⋅∇v dx,(10)
L(v)=∫Ωfv dx,(11)
有限元求解器库
子域和边界条件
改进泊松求解器