🍠Python柯布-道格拉斯效用函数规划食品预算和拟合前沿生产函数评估农作物生产效率

关键词

Python | 柯布-道格拉斯效用函数 | 数学 | numpy | matplotlib | seaborn | sympy | scipy | 前沿生产函数 | 分位数回归 | 汇总指标

梗概

柯布-道格拉斯效用函数

柯布-道格拉斯生产函数在引入数据时具有吸引人的统计特性。 该函数如下所示。

$Y=z K^\alpha L^{1-\alpha}$

该函数的参数化为：

• 参数 $\alpha \in[0,1]$ 称为“资本的产出弹性”。

• $z$ 称为全要素生产率的值

现在，我们定义一个函数，该函数计算参数为 $z=1$ 和 $\alpha=0.33$ 的柯布-道格拉斯生产函数的输出，并接受输入 K 和 L。

def cobb_douglas(K, L):

    # Create alpha and z
    z = 1
    alpha = 0.33

    return z * K**alpha * L**(1 - alpha)

我们可以像使用均值函数一样使用这个函数。

cobb_douglas(1.0, 0.5)

输出

0.6285066872609142

经济学家经常对这个问题感兴趣：如果我们修改投入，产出会发生多大变化？例如，采用生产函数 $Y_1=F\left(K_1, L_1\right)$，它生产 $Y_1$ 单位的货物。如果我们将输入分别乘以 $\gamma$，则 $K_2=\gamma K_1$ 和 $L_2=\gamma L_1$，则输出为

$Y_2=F\left(K_2, L_2\right)=F\left(\gamma K_1, \gamma L_1\right)$

$Y_1$ 与 $Y_2$ 相比如何？

如果对于任意 $K, L$，我们将 $K, L$ 乘以一个值 $\gamma$ 则

• 如果 $\frac{Y_2}{Y_1}<\gamma$ 则我们说生产函数的规模收益递减。
• 如果 $\frac{Y_2}{Y_1}=\gamma$ 则我们说生产函数具有规模报酬不变。
• 如果 $\frac{Y_2}{Y_1}>\gamma$ 则我们说生产函数具有规模报酬递增。

让我们尝试一下，看看我们的函数结果是什么！

y1 = cobb_douglas(1.0, 0.5)
print(y1)
y2 = cobb_douglas(2*1.0, 2*0.5)
print(y2)

输出：

0.6285066872609142
1.2570133745218284

$Y_1$ 和 $Y_2$ 有什么关系？

y2 / y1

输出：

2.0

$Y_2$ 恰好是 $Y_1$ 的两倍！

让我们编写一个函数来计算 $K$ 和 $L$ 不同值的规模回报。

这是一个示例，说明编写函数如何让我们能够以我们最初意想不到的方式重用代码。

def returns_to_scale(K, L, gamma):
    y1 = cobb_douglas(K, L)
    y2 = cobb_douglas(gamma*K, gamma*L)
    y_ratio = y2 / y1
    return y_ratio / gamma

returns_to_scale(1.0, 0.5, 2.0)

输出：

1.0

事实证明，通过一点代数，我们可以检查这对于上面的柯布-道格拉斯示例是否始终成立。

柯布-道格拉斯效用函数规划食品预算

拟合前沿生产函数评估农作物生产效率

🏈指点迷津 | Brief