🍍Python骨架肌体运动学数学模型

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🏈指点迷津 | Brief

🎯要点

🎯运动学矢量计算 | 🎯跳远的运动学计算 | 🎯关节肢体运动最小加加速度模型 | 🎯膝关节和踝关节角度二维运动学计算 | 🎯上下肢体关节连接运动链数学模型 | 🎯刚体连接点速度加速度计算 | 🎯刚体变换二维三维运动学计算 | 🎯奇异值分解算法刚体变换 | 🎯三维运动角速度计算 | 🎯肌体和步态模型

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🍪语言内容分比

🍇Python运动学可视化

运动学是力学的一个分支，涉及物体的运动，而不考虑引起运动的力。给定一个描述粒子位置矢量随时间变化的方程，就可以计算各种运动学属性。最重要的是速度和加速度。如果粒子沿直线运动，则运动是直线运动。类似地，沿着弯曲路径行进的粒子也进行曲线运动。

x、y 和 z 笛卡尔坐标系定义了粒子在欧几里得空间中的空间位置。方程 1 显示了粒子位置随时间的变化。秒 (s) 是时间单位，米 (m) 是位置单位。

$$\vec{r}(t)=x(t) \hat{\imath}+y(t) \hat{\jmath}+z(t) \hat{k}\qquad(1)$$

曲率半径 (rho) 是从粒子 P 到路径 C 的曲率中心的距离。当粒子在空间中移动时，曲率半径会根据描述运动的函数而变化。

速度是由方程 2 表示的位置的一阶导数。速度矢量与粒子的轨迹相切。

$$\vec{v}(t)=\frac{d x(t)}{d t} \hat{\imath}+\frac{d y(t)}{d t} \hat{\jmath}+\frac{d z(t)}{d t} \hat{k}\qquad(2)$$

该方向上的单位矢量是单位切矢量，由公式 3 给出。它等于速度矢量除以幅值。

$$\hat{u}_t=\frac{\stackrel{\rightharpoonup}{v}}{v}\qquad(3)$$

向量有方向和大小。公式 4 显示了如何计算 3 维位置矢量的大小。它可以应用于任何向量并扩展到任意数量的维度。

$$\|\vec{r}\|=r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\qquad(4)$$

加速度是位置的二阶导数或速度的一阶导数。法向分量和切向分量包括加速度。

• 切向加速度与速度方向相同。

• 法向加速度是朝着粒子路径的曲率中心的方向。

方程 5 显示了加速度的两个分量。单位切向加速度矢量和法向加速度矢量是正交单位矢量。因此，它们形成一个称为密切平面的平面。

$$\vec{a}(t)=\underbrace{a_t \hat{u}_t}_{\text {切向 }}+\underbrace{a_n \hat{u}_n}_{\text {法向 }}\qquad(5)$$

单位副法向量垂直于密切平面，构成右手正交系。因此，方程 6 给出了单位副法线。

$$\hat{u}_b=\hat{u}_t \times \hat{u}_n=\frac{\vec{v} \times \vec{a}}{\|\vec{v} \times \vec{a}\|}\qquad(6)$$

单位法线指向曲率中心，这意味着曲率中心 C 位于密切平面内。因此，相对于粒子 P，曲率中心 C 由方程 7 给出。

$$\vec{r}_{c / p}=\rho \hat{u}_n\qquad(7)$$

向量相加给出了 C 的位置向量，如公式 8 所示。

$$\vec{r}_c=\vec{r}+\vec{r}_{c / p}\qquad(8)$$

Python模拟三维运动学

模拟从 0 秒开始，360 秒后结束。以下代码显示了时间线束参数。

 t0 = 0
 tf = 720
 dt = 1
 time = np.arange(t0, tf, dt, dtype='float')

方程 9 定义了粒子的位置如何随时间变化，从而定义了轨迹。

$$\vec{r}(t)=\sin (3 t) \hat{\imath}+\cos (t) \hat{\jmath}+\cos (2 t) \hat{k}\qquad(9)$$

以下显示了该符号运动方程以及速度和加速度导数的声明。还提出了切向加速度方程，它是速度大小的导数。

 t = sp.symbols('t')
 R = [sp.cos(t), sp.sin(t), t / 5] 
 V = vector_derivative(R, t)
 A = vector_derivative(V, t)
 At = vector_magnitude(V).diff(t)

矢量方程

 def vector_derivative(vector, wrt):
     return [component.diff(wrt) for component in vector]
 ​
 ​
 def vector_magnitude(vector):
     magnitude = 0
     for component in vector:
         magnitude += component ** 2
     return magnitude ** (1 / 2)
 ​
 ​
 def unit_vector(from_vector_and_magnitude=None, from_othogonal_vectors=None, from_orthogonal_unit_vectors=None):
 ​
     if from_vector_and_magnitude is not None:
         vector_a, magnitude = from_vector_and_magnitude[0], from_vector_and_magnitude[1]
         return [component / magnitude for component in vector_a]
 ​
     if from_othogonal_vectors is not None:
         vector_a, vector_b = from_othogonal_vectors[0], from_othogonal_vectors[1]
         vector_normal = np.cross(vector_a, vector_b)
         return unit_vector(from_vector_and_magnitude=(vector_normal, vector_magnitude(vector_normal)))
 ​
     if from_orthogonal_unit_vectors is not None:
         u1, u2 = from_orthogonal_unit_vectors[0], from_orthogonal_unit_vectors[1]
         return np.cross(u1, u2)
 ​
 ​
 def evaluate_vector(vector, time_step):
 ​
     numerical_vector = [float(component.subs(t, time_step).evalf()) for component in vector]
     magnitude = vector_magnitude(numerical_vector)
     return numerical_vector, magnitude

定义了相关的矢量函数后，就可以开始随时间传播。以下显示了用于运行模拟的代码。

 propagation_time_history = []
 ​
 for ti in time:
     ti_r = d2r(ti)
     r, r_mag = evaluate_vector(R, ti_r)
     v, v_mag = evaluate_vector(V, ti_r)
     v_theta = [r2d(angle) for angle in direction_angles(v, v_mag)]
     a_theta = [r2d(angle) for angle in direction_angles(a, a_mag)]
     ut = unit_vector(from_vector_and_magnitude=(v, v_mag))
     ub = unit_vector(from_othogonal_vectors=(v, a))
     un = unit_vector(from_orthogonal_unit_vectors=(ub, ut))
     at = float(At.subs(t, ti_r).evalf())
     rc = r + (rho * un)
     rc_mag = vector_magnitude(rc)
 ​
     iteration_results = {'t': ti, 'rx': r[0], 'ry': r[1], 'rz': r[2], 'r_mag': r_mag,
                          'vx': v[0], 'vy': v[1], 'vz': v[2], 'v_mag': v_mag,
                          'rcx': rc[0], 'rcy': rc[1], 'rcz': rc[2], 'rc_mag': rc_mag, 'rho': rho,
                          'ax': a[0], 'ay': a[1], 'az': a[2], 'a_mag': a_mag, 'an': an, 'at': at,
                          'ubx': ub[0], 'uby': ub[1], 'ubz': ub[2],
                          'utx': ut[0], 'uty': ut[1], 'utz': ut[2],
                          'unx': un[0], 'uny': un[1], 'unz': un[2]}
 ​
     propagation_time_history.append(iteration_results)
 ​
 df = pd.DataFrame(propagation_time_history)
 ​