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偏微分方程式（PDEs）の厳密な研究には、関数解析の深い理解がしばしば必要となります。その中心となるのが、ヒルベルト空間とソボレフ空間の枠組みであり、古典的な解が存在しない場合に弱解を定義し、扱うための道具を提供します。ヒルベルト空間は、馴染み深いユークリッド空間の概念を無限次元の設定へと一般化し、現代のPDE理論に不可欠な変分法の発展を支えます。