🫑Python和MATLAB及C++资产价格看涨看跌对冲模型和微积分

关键词

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Python和MATLAB及C++资产价格看涨看跌对冲模型和微积分 | Notion亚图跨际 on Notion

🏈page指点迷津 | Brief

🎯要点

1. 🎯资产价格动态数学随机模型：🖊价格几何布朗运动过程积分 | 🖊布朗运动和几何布朗运动随时间概率密度 | 🖊几何布朗运动离散过程 | 🖊电动车历史股票价值及预期。

2. 🎯金融衍生品估值偏微分方程：🖊期权合约 | 🖊计算看涨期权期权面，显示对冲参数及预期价格 | 🖊计算看跌期权的期权面 | 🖊对冲看涨期权投资组合 | 🖊再平衡频率对投资组合方差的影响。

3. 🎯期权价格与隐含概率密度函数关系模型：🖊看涨期权隐含波动率 | 🖊看涨期权敏感度值曲面 | 🖊隐含波动率曲面 | 🖊看涨期权价值函数偏微分变化趋势 | 🖊看涨期权价格执行价格对比 | 🖊哈根隐含波动率参数化下的不同隐含波动率形状 | 🖊外汇市场报价数据插值 | 🖊局部波动模型模拟。

4. 🎯价格泊松过程中偏积分微分方程：🖊价格跳跃扩散的蒙特卡罗路径和补偿泊松过程 | 🖊默顿模型，跳跃扩散过程 | 🖊跳跃扩散过程概率密度三维分布和二维动态 | 🖊默顿跳跃扩散模型对隐含波动率影响 | 🖊对冲看涨期权价格波动 | 🖊不同对冲频率对损益方差的影响。

5. 🎯傅立叶余弦级数和风险中性估值期权定价方法 | 🎯多维期权定价和风险中性措施

6. 🎯C++和Python计算金融数学方程算法模型

🍇Python风险中性资产定价

令 $\beta=1 /(1+\rho)$ 为跨期贴现因子，其中 $\rho$ 是主体对未来贴现的利率。为一单位除息资产定价的基本风险中性资产定价方程为

$$p_t=\beta E _t\left[d_{t+1}+p_{t+1}\right]$$

这里 $E _t[y]$ 表示 $y$的最佳预测，以时间 t 可用的信息为条件。

最简单的情况是恒定、非随机股息流的风险中性价格 $d_t=d>0$。从上式中删除期望并向前迭代得出，

$$\begin{aligned} p_t & =\beta\left(d+p_{t+1}\right) \\ & =\beta\left(d+\beta\left(d+p_{t+2}\right)\right) \\ & \vdots \\ & =\beta\left(d+\beta d+\beta^2 d+\cdots+\beta^{k-2} d+\beta^{k-1} p_{t+k}\right) \end{aligned}$$

如果 $\lim _{k \rightarrow+\infty} \beta^{k-1} p_{t+k}=0$，该序列收敛为

$$\bar{p}:=\frac{\beta d}{1-\beta}$$

这是股息不变情况下的均衡价格。

考虑一个增长的非随机股息过程$d_{t+1}=g d_t$，其中$<g \beta<1$。虽然当股息随着时间的推移而增长时，价格通常不会保持不变，但价格股息率却可以。

如果我们猜到这一点，将 $v_t=v$ 代入下式以及我们的其他假设，我们得到 $v=\beta g(1+v)​$。

$$v_t= E _t\left[m_{t+1} \frac{d_{t+1}}{d_t}\left(1+v_{t+1}\right)\right]$$

由于 $\beta g<1$，我们有唯一的正解：

$$v=\frac{\beta g}{1-\beta g}$$

价格为：

$$p_t=\frac{\beta g}{1-\beta g} d_t$$

在这个例子中，如果我们采用 $g=1+\kappa$ 并让 $\rho:=1 / \beta-1$，那么价格就变成

$$p_t=\frac{1+\kappa}{\rho-\kappa} d_t$$

这就是所谓的戈登公式。

代码实现一个著名的定价模型：

 class PricingModel:
  
     def __init__(self, β=0.96, mc=None, γ=2.0, g=np.exp):
         self.β, self.γ = β, γ
         self.g = g
 ​
         # A default process for the Markov chain
         if mc is None:
             self.ρ = 0.9
             self.σ = 0.02
             self.mc = qe.tauchen(n, self.ρ, self.σ)
         else:
             self.mc = mc
 ​
         self.n = self.mc.P.shape[0]
 ​
     def test_stability(self, Q):
     
         sr = np.max(np.abs(eigvals(Q)))
         if not sr < 1 / self.β:
             msg = f"Spectral radius condition failed with radius = {sr}"
             raise ValueError(msg)
 ​
 ​
 def tree_price(ap):
     # Simplify names, set up matrices
     β, γ, P, y = ap.β, ap.γ, ap.mc.P, ap.mc.state_values
     J = P * ap.g(y)**(1 - γ)
 ​
     # Make sure that a unique solution exists
     ap.test_stability(J)
 ​
     # Compute v
     I = np.identity(ap.n)
     Ones = np.ones(ap.n)
     v = solve(I - β * J, β * J @ Ones)
 ​
     return v

这是 $v$ 作为 $\gamma$ 几个值的状态函数的图，具有正相关的马尔可夫过程和 $g(x)=\exp (x)$，

 γs = [1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0]
 ap = AssetPriceModel()
 states = ap.mc.state_values
 ​
 fig, ax = plt.subplots()
 ​
 for γ in γs:
     ap.γ = γ
     v = tree_price(ap)
     ax.plot(states, v, lw=2, alpha=0.6, label=rf"$\gamma = {γ}$")
 ​
 ax.set_title('Price-dividend ratio as a function of the state')
 ax.set_ylabel("price-dividend ratio")
 ax.set_xlabel("state")
 ax.legend(loc='upper right')
 plt.show()