🥥Python蒸发散物理问题(微积分-线性代数-拉普拉斯和傅立叶变换)

关键词

Python | 数学 | Matplotlib | Numpy | 微积分 | 偏微分方程 | 线性代数 | 拉普拉斯 | 傅里叶变换 | 蒸发散 | 物理 | 土壤 | 植物 | 大气 | 气相 | 液相 | 传输方程 | 溶质 | 蒸腾作用

梗概

使用Python计算解决土壤物理问题的数值。这里数值过程用于求解微分方程，数值方法将微分转化为代数方程，可以使用传统的线性代数方法求解。

Python拉普拉斯变换求解微分方程示例

假设我们有微分方程

$y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+16 y=\cos 4 t$

对于未知函数 y(t)。该方程描述了物理学中具有摩擦力的受迫振荡器。作为初始条件，我们选择 $y(0)=y^{\prime}(0)=0$。

拉普拉斯变换提供了求解此类方程的最方便的方法。首先，看看如果我们对未知函数的二阶导数进行拉普拉斯变换，会发生什么：

$\begin{gathered} L\left(y^{\prime \prime}\right)=\int_0^{\infty} y^{\prime \prime}(t) e^{-p t} d t= \\ {\left[y^{\prime}(t) e^{-p t}\right]_0^{\infty}-(-p) \int_0^{\infty} y^{\prime}(t) e^{-p t} d t=} \\ p L\left(y^{\prime}\right)-y^{\prime}(0) \end{gathered}$

我们从第一行到第二行使用了部分积分。因此，我们可以通过乘以 $\mathrm{p}$ 并减去一阶导数的初始条件来替换二阶导数。对于 $L\left(y^{\prime}\right)$ 我们做同样的事情并得到：

$L\left(y^{\prime}\right)=\int_0^{\infty} y^{\prime}(t) e^{-p t} d t=p L(y)-y(0)$ $L\left(y^{\prime \prime}\right)=p^2 L(y)-p y(0)-y^{\prime}(0)$

这使我们能够对整个微分方程进行拉普拉斯变换。让我们切换到 Python 并启动 Jupyter notebook。定义符号和微分方程，以及未计算的拉普拉斯变换：

from sympy import *
​
t, p = symbols('t, p')
y = Function('y')
​
Y = laplace_transform(y(t), t, p)
​
eq = Eq(diff(y(t), (t, 2)) + 2 * diff(y(t), t) + 16*y(t), 
        cos(4*t))

eq

$16 y(t)+2 \frac{d}{d t} y(t)+\frac{d^2}{d t^2} y(t)=\cos (4 t)$

Y

$\mathcal{L}_t[y(t)](p)$

右侧看起来像这样：

laplace_transform(eq.lhs, t, p )

$p^2 \mathcal{L}_t[y(t)](p)+2 p \mathcal{L}_t[y(t)](p)-p y(0)+16 \mathcal{L}_t[y(t)](p)-2 y(0)-\left.\frac{d}{d t} y(t)\right|_{t=0}$

对于 $\left.\frac{d}{d t} y(t)\right|_{t=0}$，使用 Subs 类，它表示表达式的未评估替换。这正是我们所需要的。所以我们的初始条件是

initial ={
    y(0): 0,
    Subs(diff(y(t), t), t, 0): 0
}

现在我们可以将微分方程的拉普拉斯变换写为

eq_p=Eq(
    laplace_transform(eq.lhs,t,p).subs(initial),
    laplace_transform(eq.rhs,t,p,noconds=True)
)

eq_p

$p^2 \mathcal{L}_t[y(t)](p)+2 p \mathcal{L}_t[y(t)](p)+16 \mathcal{L}_t[y(t)](p)=\frac{p}{p^2+16}$

求解 L[y]为：

solve(_,Y)

[p /(p * * 4+2 * p * * 3+32 * p * * 2+32 * p+256)]

sol_Y=_[0]

并从拉普拉斯变换回正常空间：

inverse_laplace_transform(sol_Y,p,t)

$\frac{\left(15 e^t \sin (4 t)-4 \sqrt{15} \sin (\sqrt{15} t)\right) e^{-t} \theta(t)}{120}$

稍微整理一下：

expand(_)

$\frac{\sin (4 t) \theta(t)}{8}-\frac{\sqrt{15} e^{-t} \sin (\sqrt{15} t) \theta(t)}{30}$

collect(_,Heaviside(t))

$\left(\frac{\sin (4 t)}{8}-\frac{\sqrt{15} e^{-t} \sin (\sqrt{15} t)}{30}\right) \theta(t)$

这是一个简洁的形式，我们将在此停止。 Heaviside $\theta \theta$ 函数使所有 t<0 的值等于 0，这是可以的，因为我们只需要 $t \geq 0$ 的解。

请注意，拉普拉斯方法会自动处理初始条件，而无需从通解中确定常数！这使得它比大多数其他方法舒服得多。

最后，让我们绘制解：

p1=plot(_,(t,0,10),
		show=False,label='y(t)',legend=True,ylabel='')
p2=plot(cos(4*t),(t,0,10),show=False,label=r'$\cos4t$')
p1.append(p2[0])
p1.show()

上面的例子展示了如何解决具有齐次初始条件 $\left(y(0)=y^{\prime}(0)=0\right)$ 的问题。但拉普拉斯技术的使用当然不限于此。只需代入非齐次初始条件，求解 Y(p)，进行拉普拉斯逆变换，就得到了解 y(t)。

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