🫑Python高压电容导电体和水文椭圆微分

Python | 数学 | 物理 | 二维 | 热传导 | 调和函数 | 潮汐波动方程 | 旋转球体 | 水文 | 空间插值 | 求解器 | 随机算法 | 高压电容 | 电势 | 稠密矩阵

🏈指点迷津 | Brief

🎯要点

🎯二维热传导二阶偏微分方程 | 🎯调和函数和几何图曲率 | 🎯解潮汐波动方程 | 🎯解静止基态旋转球体流体运动函数 | 🎯水文空间插值 | 🎯流体流动模拟求解器 | 🎯随机算法解二维高压电容器电势 | 🎯解空心导电圆柱体交替电势 | 🎯稠密矩阵椭圆微分快速算法

📜拉普拉斯方程用例：Python火焰锋动力学和浅水表面波浪偏微分方程

📜泊松方程用例：Python低溫半导体电子束量子波算法计算

🍇Python椭圆微分-拉普拉斯方程

物理学中的许多问题与时间无关，但却具有丰富的物理意义：大质量物体产生的引力场、电荷分布的电势、拉伸膜的位移以及流体通过多孔介质的稳定流动……所有这些都可以用泊松方程建模：

∇2u=f\nabla^2 u=f

其中未知的 u 和已知的 f 是域 \Omega 中的空间函数。为了找到解，我们需要边界条件。边值问题包括在给定上述信息的情况下找到 u。在数字上，我们可以使用松弛方法来做到这一点，该方法从对 u 的初始猜测开始，然后迭代求解。

f=0f=0（齐次情况）的特殊情况得出拉普拉斯方程：

∇2u=0\nabla^2 u=0

例如，稳定的二维热传导方程为：

∂2T∂x2+∂2T∂y2=0\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}=0

其中 T​ 是已达到稳定状态的温度。拉普拉斯方程对系统在所提供的边界条件下的平衡状态进行建模。研究拉普拉斯方程解的学科称为势理论，解本身通常就是势场。从现在开始，我们用 p 来表示我们的通用因变量，并再次写出拉普拉斯方程（二维）：

∂2p∂x2+∂2p∂y2=0\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 p}{\partial y^2}=0

与扩散方程一样，我们用中心差离散化二阶导数

pi+1,j−2pi,j+pi−1,jΔx2+pi,j+1−2pi,j+pi,j−1Δy2=0\frac{p_{i+1, j}-2 p_{i, j}+p_{i-1, j}}{\Delta x^2}+\frac{p_{i, j+1}-2 p_{i, j}+p_{i, j-1}}{\Delta y^2}=0

当 Δx=Δy\Delta x=\Delta y时，我们最终得到以下等式：

pi+1,j+pi−1,j+pi,j+1+pi,j−1−4pi,j=0p_{i+1, j}+p_{i-1, j}+p_{i, j+1}+p_{i, j-1}-4 p_{i, j}=0

这告诉我们，网格点 (i,j)(i, j) 处的拉普拉斯微分算子可以使用该点处的 pp 值（因子 -4 ）和左右四个相邻点来离散计算，网格点 (i,j)(i, j) 上方和下方。

假设我们想在一块计算机芯片上模拟稳态热传递，该芯片一侧绝缘（零诺伊曼边界层），两侧保持固定温度（狄利克雷条件），一侧接触具有正弦温度分布的组件。我们需要求解拉普拉斯方程，其边界条件如下：

p=0 at x=0∂p∂x=0 at x=Lp=0 at y=0p=sin⁡(32πxL) at y=H.\begin{gathered} p=0 \text { at } x=0 \\ \frac{\partial p}{\partial x}=0 \text { at } x=L \\ p=0 \text { at } y=0 \\ p=\sin \left(\frac{\frac{3}{2} \pi x}{L}\right) \text { at } y=H . \end{gathered}

我们将L=1 L=1 和 H=1H=1 作为域在x x 和 yy 方向上的大小。

 from matplotlib import pyplot
 import numpy
 %matplotlib inline
 from matplotlib import rcParams
 rcParams['font.family'] = 'serif'
 rcParams['font.size'] = 16
 ​
 from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
 from matplotlib import cm
 ​
 def plot_3D(x, y, p):
    
     fig = pyplot.figure(figsize=(11,7), dpi=100)
     ax = fig.gca(projection='3d')
     X,Y = numpy.meshgrid(x,y)
     surf = ax.plot_surface(X,Y,p[:], rstride=1, cstride=1, cmap=cm.viridis,
             linewidth=0, antialiased=False)
 ​
     ax.set_xlim(0,1)
     ax.set_ylim(0,1)
     ax.set_xlabel('$x$')
     ax.set_ylabel('$y$')
     ax.set_zlabel('$z$')
     ax.view_init(30,45)

具有上述边界条件的拉普拉斯方程有一个解析解，由下式给出

p(x,y)=sinh⁡(32πyL)sinh⁡(32πHL)sin⁡(32πxL)p(x, y)=\frac{\sinh \left(\frac{\frac{3}{2} \pi y}{L}\right)}{\sinh \left(\frac{\frac{3}{2} \pi H}{L}\right)} \sin \left(\frac{\frac{3}{2} \pi x}{L}\right)
 def p_analytical(x, y):
     X, Y = numpy.meshgrid(x,y)
 ​
     p_an = numpy.sinh(1.5*numpy.pi*Y / x[-1]) /\
     (numpy.sinh(1.5*numpy.pi*y[-1]/x[-1]))*numpy.sin(1.5*numpy.pi*X/x[-1])
 ​
     return p_an

让我们尝试一下解析解，并用它来测试我们上面编写的plot_3D函数。

 nx = 41
 ny = 41
 ​
 x = numpy.linspace(0,1,nx)
 y = numpy.linspace(0,1,ny)
 ​
 p_an = p_analytical(x,y)
 ​
 plot_3D(x,y,p_an)
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