🥥Python数值和偏微分方程解

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Python数值分析

线性方程组

使用numpy.linalg.solve求解以下方程式

$\begin{aligned}4 x_{1}+3 x_{2}-5 x_{3} &=2 \\-2 x_{1}-4 x_{2}+5 x_{3} &=5 \\8 x_{1}+8 x_{2} &=-3\end{aligned}$

import numpy as np

A = np.array([[4, 3, -5], 
              [-2, -4, 5], 
              [8, 8, 0]])
y = np.array([2, 5, -3])

x = np.linalg.solve(A, y)
print(x)

输出：

[ 2.20833333 -2.58333333 -0.18333333]

手工计算得出的结果与上述方法相同。在后台，求解器实际上是在进行LU分解以获得结果。您可以检查该函数的帮助，它需要输入矩阵为正方形且为全秩，即所有行（或等效地，列）必须线性独立。

片段14

尝试使用矩阵求逆法求解上述方程

A_inv = np.linalg.inv(A)

x = np.dot(A_inv, y)
print(x)

输出：

[ 2.20833333 -2.58333333 -0.18333333]

我们还可以使用scipy包获得用于LU分解的 $L$ 和 $U$ 矩阵

片段15

获取上述矩阵A的 $L$ 和 $U$

from scipy.linalg import lu

P, L, U = lu(A)
print('P:\\n', P)
print('L:\\n', L)
print('U:\\n', U)
print('LU:\\n',np.dot(L, U))

输出：

P:
 [[0. 0. 1.]
 [0. 1. 0.]
 [1. 0. 0.]]
L:
 [[ 1.    0.    0.  ]
 [-0.25  1.    0.  ]
 [ 0.5   0.5   1.  ]]
U:
 [[ 8.   8.   0. ]
 [ 0.  -2.   5. ]
 [ 0.   0.  -7.5]]
LU:
 [[ 8.  8.  0.]
 [-2. -4.  5.]
 [ 4.  3. -5.]]

我们可以看到我们得到的$L$和$U$与我们在上述中手工得到的有所不同。您还将看到LU函数返回的置换矩阵 $P$ 。此置换矩阵记录了我们如何更改方程式的顺序，以简化计算目的（例如，如果第一行中的第一个元素为零，则它不能成为枢轴方程，因为您不能将其他行中的第一个元素转换为零。因此，我们需要切换方程式的顺序以获得新的枢轴方程式）。如果将 $P$ 与 $A$ 相乘，您会发现此置换矩阵会逆转这种情况下方程的顺序。

将 $P$ 和 $A$ 相乘，看看置换矩阵对 $A$ 有什么影响

print(np.dot(P, A))

输出：

[[ 8.  8.  0.]
 [-2. -4.  5.]
 [ 4.  3. -5.]]

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Python解偏微分方程

求解泊松方程

数学问题公式化：

$-\nabla^{2} u(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x}), \quad \boldsymbol{x} \text { in } \Omega,\qquad(1)$

$u(\boldsymbol{x})=u_{\mathrm{D}}(\boldsymbol{x}), \quad \boldsymbol{x} \text { on } \partial \Omega,\qquad(2)$

其中， $u=u(\boldsymbol{x})$ 为未知函数， $f=f(\boldsymbol{x})$ 为规定函数， $\nabla^{2}$ 为拉普拉斯算子（常写为 $\nabla$ ）， $\Omega$ 为空间域， $\partial \Omega$ 为 $\Omega$ 的边界。泊松问题，包括偏微分方程 $-\nabla^{2} u=f$ 和 $\partial \Omega$ 上的边界条件 $u=u_{\mathrm{D}}$ ，是边界值问题的一个例子，在开始使用 FEniCS 解决它之前必须精确说明。

在坐标为 x 和 y 的二维空间中，我们可以写出泊松方程为

$-\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=f(x, y),\qquad(3)$

未知数 $\boldsymbol{u}$ 现在是两个变量的函数， $u=u(x, y)$ ，在二维域 $\Omega$ 上定义。

泊松方程出现在许多物理环境中，包括热传导、静电、物质扩散、弹性杆的扭曲、无粘性流体流动和水波。此外，该方程出现在更复杂的偏微分方程系统的数值分裂策略中，尤其是 Navier-Stokes 方程。

求解边界值问题包括以下步骤：

有限元变分公式

基于有限元方法，它是 PDE 数值解的通用且高效的数学机器。有限元方法的起点是以变分形式表示的偏微分方程。

将 PDE 转化为变分问题的基本方法是将 PDE 乘以函数 $v$ ，在域 $\Omega$ 上对所得方程进行积分，并通过具有二阶导数的部分项进行积分。乘以 PDE 的函数 $v$ 称为测试函数。要逼近的未知函数 $u$ 称为试验函数。术语试验和测试功能也用于程序。试验和测试函数属于某些所谓的函数空间，这些函数空间指定了函数的属性

在本例中，我们首先将泊松方程乘以测试函数 $v$ 并在 $\Omega$ 上积分：

$-\int_{\Omega}\left(\nabla^{2} u\right) v \mathrm{~d} x=\int_{\Omega} f v \mathrm{~d} x,\qquad(4)$

我们在这里让 dx 表示域 Ω 上积分的微分元素。我们稍后将让 ds 表示在 Ω 边界上积分的微分元素。

当我们推导出变分公式时，一个常见的规则是我们尽量保持 $u$ 和 $v$ 的导数的阶数尽可能小。在这里，我们有 $u$ 的二阶空间导数，可以通过应用部分积分技术将其转换为 $u$ 和 $v$ 的一阶导数。公式是这样写的

$-\int_{\Omega}\left(\nabla^{2} u\right) v \mathrm{~d} x=\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \mathrm{~d} x-\int_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial n} v \mathrm{~d} s,\qquad(5)$

其中 $\frac{\partial u}{\partial n}=\nabla u \cdot n$ 是$u$ 在边界外法线方向 $n$ 上的导数。

变分公式的另一个特点是测试函数 $v$ 需要在解 $u$ 已知的边界部分消失。在当前问题中，这意味着整个边界 $\partial \Omega$ 上的 $v=0$ 。因此，等式（5）右边的第二项消失了。从等式（4）和（5）可以得出

$\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \mathrm{~d} x=\int_{\Omega} f v \mathrm{~d} x,\qquad(6)$

抽象有限元变分公式

事实证明，为变分问题引入以下规范符号是很方便的：找到 $u \in V$ 使得

$a(u, v)=L(v) \quad \forall v \in \hat{V},\qquad(9)$

对于泊松方程，我们有：

$a(u, v)=\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \mathrm{~d} x,\qquad(10)$

$L(v)=\int_{\Omega} f v \mathrm{~d} x,\qquad(11)$

实现代码（Python）

# Create mesh and define function space
mesh = UnitSquareMesh(8, 8)
V = FunctionSpace(mesh, ’P’, 1)
# Define boundary condition
u_D = Expression(’1 + x[0]*x[0] + 2*x[1]*x[1]’, degree=2)
def boundary(x, on_boundary):
	return on_boundary
bc = DirichletBC(V, u_D, boundary)
# Define variational problem
u = TrialFunction(V)
v = TestFunction(V)
f = Constant(-6.0)
a = dot(grad(u), grad(v))*dx
L = f*v*dx
# Compute solution
u = Function(V)
solve(a == L, u, bc)
# Plot solution and mesh
plot(u)
plot(mesh)
# Save solution to file in VTK format
vtkfile = File(’poisson/solution.pvd’)
vtkfile << u
# Compute error in L2 norm
error_L2 = errornorm(u_D, u, ’L2’)
# Compute maximum error at vertices
vertex_values_u_D = u_D.compute_vertex_values(mesh)
vertex_values_u = u.compute_vertex_values(mesh)

import numpy as np
error_max = np.max(np.abs(vertex_values_u_D - vertex_values_u))
# Print errors
print(’error_L2 =’, error_L2)
print(’error_max =’, error_max)
# Hold plot
interactive()

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源代码

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P: [[0. 0. 1.] [0. 1. 0.] [1. 0. 0.]] L: [[ 1. 0. 0. ] [-0.25 1. 0. ] [ 0.5 0.5 1. ]] U: [[ 8. 8. 0. ] [ 0. -2. 5. ] [ 0. 0. -7.5]] LU: [[ 8. 8. 0.] [-2. -4. 5.] [ 4. 3. -5.]]

# Create mesh and define function space mesh = UnitSquareMesh(8, 8) V = FunctionSpace(mesh, ’P’, 1) # Define boundary condition u_D = Expression(’1 + x[0]*x[0] + 2*x[1]*x[1]’, degree=2) def boundary(x, on_boundary): return on_boundary bc = DirichletBC(V, u_D, boundary) # Define variational problem u = TrialFunction(V) v = TestFunction(V) f = Constant(-6.0) a = dot(grad(u), grad(v))*dx L = f*v*dx # Compute solution u = Function(V) solve(a == L, u, bc) # Plot solution and mesh plot(u) plot(mesh) # Save solution to file in VTK format vtkfile = File(’poisson/solution.pvd’) vtkfile << u # Compute error in L2 norm error_L2 = errornorm(u_D, u, ’L2’) # Compute maximum error at vertices vertex_values_u_D = u_D.compute_vertex_values(mesh) vertex_values_u = u.compute_vertex_values(mesh) import numpy as np error_max = np.max(np.abs(vertex_values_u_D - vertex_values_u)) # Print errors print(’error_L2 =’, error_L2) print(’error_max =’, error_max) # Hold plot interactive()