常微分方程
常微分方程（ODE）可用于描述动态系统。 从某种程度上来说，我们生活在一个动态系统中，窗外的天气从黎明到黄昏都在变化，我们体内发生的新陈代谢也是一个动态系统，因为随着时间的推移，成千上万的反应和分子被合成和降解。
更正式地说，如果我们定义一组变量，比如一天的温度，或者某个时间点X分子的数量，并且它随着自变量的变化而变化（在动态系统中，通常是时间t） 。 ODE 为我们提供了一种以数学方式描述定义变量动态变化的方法。 与之相反的系统称为静态系统，想象一下拍一张外面的照片，这张快照不包含任何动态，换句话说，它是静态的。
求解常微分方程意味着确定变量如何随着时间的推移而变化，解有时称为解曲线（如下图所示），为任何动态系统的默认行为提供信息预测。
方程式
这里我首先介绍一些术语，读者可以从中受益。常微分方程 (ODE) 看起来像这样：
这是一个涉及导数的方程，但方程本身没有偏导数。 换句话说，我们只考虑一个自变量，即时间 t。 当我们有多个自变量进来时，它就变成偏微分方程（PDE），这不属于本文的讨论范围。
在 ODE 中，如果包含因变量的项（在上述情况下为变量 R，包含 R 的项包括 dR/dt 和 k2R）的系数与 R 无关，则该 ODE 被视为线性 ODE。 为了说明这一点，让我向您展示一个非线性 ODE 作为比较：
可以看到，现在dR/dt的系数为R，这违反了线性ODE的定义，因此变成了非线性ODE。
最后一对术语，如果变量的导数与自变量（这里是时间t）无关，我们称它们为自治ODE，否则，它成为非自治ODE。同样，非自治 ODE 如下所示：
现在你可以看到时间 t 位于右侧，因此它是一个非自治 ODE。
求解 S 形信号响应曲线
from scipy.integrate import odeint
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def model(Rp,t,S):
k1 = 1
k2 = 1
Rt = 1
km1 = 0.05
km2 = 0.05
dRpdt = (k1*S*(Rt-Rp)/(km1+Rt-Rp)) - k2*Rp/(km2+Rp)
return dRpdt
S_all = np.linspace(0,3,100)
def equation(Rp,S):
k1 = 1
k2 = 1
Rt = 1
km1 = 0.05
km2 = 0.05
return k1*S*(Rt-Rp)/(km1+Rt-Rp) - k2*Rp/(km2+Rp)
from scipy.optimize import fsolve
store = []
for S in S_all:
Rp_ss = fsolve(equation,[1],args=(S,))[0]
store.append(Rp_ss)
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