🍠Python鲁汶意外莱顿复杂图拓扑分解算法

Python鲁汶意外莱顿复杂图拓扑分解算法 | 亚图跨际亚图跨际 on Notion

🏈指点迷津 | Brief

🎯要点

🎯算法池化和最佳分区搜索：🖊网格搜索 | 🖊发现算法池 | 🖊返回指定图的最佳划分 | 🖊返回指定图的最佳分区 | 🎯适应度和聚类比较功能：🖊图的划分 | 🖊节点度 | 🖊给定算法检测到社群总数 | 🖊图密度 | 🖊社群顶点的度数之和 | 🖊解之间的预期一致 | 🖊联合熵 | 🖊平均内部度、所有可能的节点对的平均路径长度 | 🖊节点指向社群外的边平均比例 | 🖊现有边距离社群比例 | 社群内部密度 | 🖊切割比率的标准化变体 | 🖊边超几何分布随机出现的统计方法 | 🖊兰德指数预测聚类之间的相似性度量 | 分区之间最佳匹配的平均 F1 分数 | 归一化互信息

📜图算法用例

📜Python群体趋向性潜关联有向无向多图层算法

📜Python和MATLAB网络尺度结构和幂律度大型图生成式模型算法

📜MATLAB和Python零模型社会生物生成式结构化图

📜Python莫兰生死抑制放大进化图

📜Python种群邻接矩阵彗星风筝进化图算法

​📜Python和C++骨髓细胞进化解析数学模型

🍪语言内容分比

🍇Python和MATLAB异构网络算法

异构信息网络是一种网络结构，其对象可以假设不同的对象类型，对象之间的链接可以表示对象之间的不同类型的关系。此网无处不在，用于对许多不同类型的现实世界数据进行建模。例如，社交软件开放图将用户、帖子、事件和页面建模为四种不同类型的对象。用户可以发布帖子、参加活动或喜欢页面，这说明了将用户对象与帖子相关联的三种不同类型的连接。

此网络数据分析一直是一个活跃的研究领域。作为机器学习和数据挖掘的一项基本任务，聚类分析在此网络中找到了有趣的应用。例如，根据社交软件用户的兴趣对其进行聚类，可以实现有效的目标营销和病毒式营销。

谱聚类将聚类转化为图分割问题，该问题优化衡量分割质量的某个标准，例如正则化切割。通常，给定一组对象 $X=\left\{x_1, x_2, \ldots, x_n\right\}$，标准谱聚类方法首先构造一个无向图 $G=(X, S)$，其中 $X$ 表示顶点集，$S$ 是一个矩阵，$S_{i j}$度量对象$x_i$ 和$x_j$ 之间的相似性。然后，计算拉普拉斯矩阵$L_S$，在此基础上执行特征分解以获得与 k 个最小特征值相对应的 k 个特征向量，其中 $k$ 是所需的聚类数量。这些特征向量被用作对象的新特征空间。最后，应用后处理步骤，例如 $k$均值和光谱旋转将对象划分为$k$ 个聚类。

异构信息网络：

令 $T =\left\{T_1, \ldots, T_m\right\}$为一组 $m$对象类型。对于每种类型 $T_i$，令$X _i$为类型 $T_i$ 的对象集。 异构信息网络是一个图$G =( V , E )$，其中 $V =\bigcup_{i=1}^m X _i$是一组节点，$E$ 是一组链接，每个链接代表一个二进制$V$ 中两个对象之间的关系。

它的网络模式：

网络模式是异构信息网络$G =( V , E )$的元模板。令 (1) $\phi: V \rightarrow T$ 为对象类型映射，将$V$ 中的对象映射为其类型，(2) $\psi: E \rightarrow R$ 为链接关系映射将$E$中的链接映射到一组关系 $R$中的关系。异构信息网络 $G$的网络模式用 $T_{ G }=( T , R )$表示，显示了不同类型的对象如何通过$R$中的关系进行关联。使用示意图来表示$T_{G}$，其中T和R分别为节点集和边集。具体来说，示意图中存在一条边 $\left(T_i, T_j\right)$ ，前提是 R 中存在将 $T_i$ 类型的对象与 $T_j$ 类型的对象相关联的关系。

算法

谱聚类的关键步骤是构建高质量的相似度矩阵S。对于异构信息网络，元路径已被有效地用于测量对象相似性。例如，给定元路径 $P$，PathSim测量两个对象$x_u$ 和 $x_v$ 之间的相似度。$P$ 通过计算连接两个对象的 P 的路径实例的数量。具体来说，我们有，

$$S_{ P }\left(x_u, x_v\right)=\frac{2 \times\left|\left\{p_{x_u \rightsquigarrow x_v}: p_{x_u \rightsquigarrow x_v} \vdash P \right\}\right|}{\left|\left\{p_{x_u \rightsquigarrow x_u}: p_{x_u \rightarrow x_u} \vdash P \right\}\right|+\left|\left\{p_{x_v \rightsquigarrow x_v}: p_{x_v \rightsquigarrow x_v} \vdash P \right\}\right|}$$

给定一组元路径 $P S$，每个元路径 $P _i \in P S$ 根据上式导出相似性矩阵 $S_{ P _i}$。我们构造一个矩阵 $W$ 作为以下各项的加权和：矩阵：

$$W=\sum_{i=1}^{| P S |} \lambda_i S_{ P _i}$$

优化

由于约束$\operatorname{rank}\left(L_S\right)=n-k$，优化问题是非凸的。因此很难直接优化问题。我们将原问题转化为：

$$\begin{aligned} & \min \left\|S-\sum_{i=1}^{| P S |} \lambda_i S_{ P _i}\right\|_F^2+\alpha\|S\|_F^2+\beta\| \lambda \|_2^2+2 \gamma \sum_{i=1}^k \sigma_i\left(L_S\right), \\ & \text { s.t. } \sum_{j=1}^n S_{i j}=1, S_{i j} \geq 0, \sum_{i=1}^{| P S |} \lambda_i=1, \lambda_i \geq 0, \end{aligned}$$

其中$\sigma_i\left(L_S\right)$表示$L_S$的第$i$个最小特征值。由于$L_S$是半定的，$\sigma_i\left(L_S\right)\geq 0$。通过设置较大的$\gamma$值，我们将 $\sum_{i=1}^k \sigma_i\left(L_S\right)$强制为零，以保证 $\operatorname{rank}\left(L_S\right) )=n-k$。根据凯-范定理，我们有，

$$\sum_{i=1}^k \sigma_i\left(L_S\right)=\min _{F \in R ^{n \times k}, F^T F=I} \operatorname{tr}\left(F^T L_S F\right)$$

其中 $\operatorname{tr}(\cdot)$是跟踪运算符。因此优化问题等价于：

$$\begin{aligned} & \min \left\|S-\sum_{i=1}^{| P S |} \lambda_i S_{ P _i}\right\|_F^2+\alpha\|S\|_F^2+\beta\| \lambda \|_2^2+2 \gamma \operatorname{tr}\left(F^T L_S F\right), \\ & \text { s.t. } \sum_{j=1}^n S_{i j}=1, S_{i j} \geq 0, \sum_{i=1}^{| P S |} \lambda_i=1, \lambda_i \geq 0, F \in R ^{n \times k}, F^T F=I, \end{aligned}$$

Python伪代码实现算法：

 from sklearn.cluster import KMeans
 import numpy as np
 from scipy.optimize import minimize
 ​
 class alg:
     def __init__(self, similarity_matrices, num_clusters, random_seed=0):
         
         self.num_clusters = num_clusters
         self.random_seed = random_seed
         self.num_nodes = None
         self.similarity_matrices = []
         self.metapath_index = {}
         self.alpha = None
         self.beta = None
         self.gamma = None
 ​
         for index, (metapath, matrix) in enumerate(similarity_matrices.items()):
             if self.num_nodes is None:
                 self.num_nodes = matrix.shape[0]
             
             if matrix.shape != (self.num_nodes, self.num_nodes):
                 raise ValueError('Invalid shape of similarity matrix.')
 ​
             row_normalized_matrix = matrix/matrix.sum(axis=1, keepdims=True)
             
             self.similarity_matrices.append(row_normalized_matrix)
             self.metapath_index[metapath] = index
 ​
         self.similarity_matrices = np.array(self.similarity_matrices)
         self.num_metapaths = len(similarity_matrices)
         
 ​
     def run(self, verbose=False, cluster_using='similarity'):
         
         if cluster_using not in ['similarity', 'laplacian']:
             raise ValueError('Invalid option for parameter \'cluster_using\'.')
 ​
         similarity_matrix, metapath_weights = self.optimize(verbose=verbose)
 ​
         if cluster_using == 'similarity':
             labels = self.cluster(similarity_matrix)
 ​
         elif cluster_using == 'laplacian':
             laplacian = normalized_laplacian(similarity_matrix)
             labels = self.cluster(eigenvectors(laplacian, num=self.num_clusters))
 ​
         metapath_weights_dict = {metapath: metapath_weights[index] for metapath, index in self.metapath_index.items()}
         
         return labels, similarity_matrix, metapath_weights_dict
     
     
     def cluster(self, feature_matrix):
         return KMeans(self.num_clusters, n_init=10, random_state=self.random_seed).fit_predict(feature_matrix)
 ​
 ​
     def optimize(self, num_iterations=20, alpha=0.5, beta=10, gamma=0.01, verbose=False):
         self.alpha = alpha
         self.beta = beta
         self.gamma = gamma
         lambdas = np.ones(self.num_metapaths)/self.num_metapaths
         W = np.tensordot(lambdas, self.similarity_matrices, axes=[[0], [0]])
         S = W
 ​
         for iteration in range(num_iterations):
             
             if verbose:
                 loss = np.trace(np.matmul((S - W).T, (S - W))) 
                 loss += self.alpha * np.trace(np.matmul(S.T, S))
                 loss += self.beta * np.dot(lambdas, lambdas)
                 loss += self.gamma * np.sum(eigenvalues(normalized_laplacian(S), num=self.num_clusters))
 ​
                 print('Iteration %d: Loss = %0.3f' % (iteration, loss))
 ​
             F = self.optimize_F(S)
             S = self.optimize_S(W, F)
             lambdas = self.optimize_lambdas(S, lambdas)
             W = np.tensordot(lambdas, self.similarity_matrices, axes=[[0], [0]])
 ​
         return S, lambdas
 ​
     def optimize_F(self, S):
         LS = normalized_laplacian(S)    
         return eigenvectors(LS, num=self.num_clusters)
 ​
     def optimize_S(self, W, F):
         Q = distance_matrix(F, metric='euclidean')
         P = (2*W - self.gamma*Q)/(2 + 2*self.alpha)
 ​
         S = np.zeros((self.num_nodes, self.num_nodes)) 
         for index in range(S.shape[0]):
             S[index] = best_simplex_projection(P[index])
         
         return S
 ​
     def optimize_lambdas(self, S, init_lambdas):
         def objective(lambdas):
             W = np.tensordot(lambdas, self.similarity_matrices, axes=[[0], [0]])
             value = np.trace(np.matmul(W.T, W))
             value -= 2 * np.trace(np.matmul(S.T, W))
             value += self.beta * np.dot(lambdas, lambdas)
             return value
     
         def constraints():
             def sum_one(lambdas):
                 return np.sum(lambdas) - 1
 ​
             return  {
                 'type': 'eq',
                 'fun': sum_one,
             }
 ​
         def bounds(init_lambdas):
             return [(0, 1) for init_lambda in init_lambdas]
 ​
         return minimize(objective, init_lambdas, method='SLSQP', constraints=constraints(), bounds=bounds(init_lambdas)).x
 ​

MATLAB伪代码算法实现：

 function [y, S, evs, A] = alg(mp_matrix, c, true_cluster)
 ​
 NITER = 20;
 zr = 10e-11;
 ​
 alpha = 0.5; 
 beta = 10; 
 gamma = 0.01; 
 ​
 P = size(mp_matrix,1);
 n = size(mp_matrix,2);
 lambda = ones(P,1)./P;
 ​
 eps = 1e-10;
 A0 = zeros(n,n);
 for p = 1:P
     A0 = A0 + lambda(p) * squeeze(mp_matrix(p,:,:));
 end;
 ​
 A0 = A0-diag(diag(A0));
 A10 = (A0+A0')/2;
 D10 = diag(sum(A10));
 L0 = D10 - A10;
 ​
 [F0, ~, evs]=eig1(L0, n, 0);
 F = F0(:,1:c);
 [pred] = postprocess(F,c,true_cluster);
 ​
 for iter = 1:NITER
     dist = L2_distance_1(F',F');
     S = zeros(n);
     for i=1:n
         a0 = A0(i,:);
         idxa0 = 1:n;
         ai = a0(idxa0);
         di = dist(i,idxa0);
         ad = (ai-0.5*gamma*di)/(1+alpha); S(i,idxa0) = EProjSimplex_new(ad);
     end;
     A = S;
     A = (A+A')/2;
     D = diag(sum(A));
     L = D-A;
     F_old = F;
     [F, ~, ev]=eig1(L, c, 0);
     [pred] = postprocess(F,c,true_cluster);
     evs(:,iter+1) = ev;
 ​
     fn1 = sum(ev(1:c));
     fn2 = sum(ev(1:c+1));
     
     lambda_old = lambda;
     
     if fn1 > zr
         gamma = 2*gamma;
         lambda =  optimizeLambda(mp_matrix, S, beta); % optimize lambda
     elseif fn2 < zr
         gamma = gamma/2;  F = F_old; lambda = lambda_old;
     else
         break;
     end;
     
     A0 = zeros(n,n);
     for p = 1:P
         A0 = A0 + lambda(p) * squeeze(mp_matrix(p,:,:));
     end;
 ​
 end;
 ​
 [clusternum, y]=graphconncomp(sparse(A)); y = y';
 nmi = calculateNMI(y,true_cluster);
 purity = eval_acc_purity(true_cluster,y);
 ri = eval_rand(true_cluster,y);
 ​
 fprintf('Final NMI is %f\n',nmi);
 fprintf('Final purity is %f\n',purity);
 fprintf('Final rand is %f\n',ri);
 ​
 if clusternum ~= c
     sprintf('Can not find the correct cluster number: %d', c)
 end;