🍠Python热涨落流体力学求解算法和英伟达人工智能核评估模型

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🏈指点迷津 | Brief

🎯要点

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🎯英伟达 A100 人工智能核性能评估模型 | 🎯热涨落流体动力学求解及算法

📜有限差分法 | 本文 - 用例

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🍇Python有限差分逼近余弦导数

函数$f(x)$在$x=a$点的导数$f^{\prime}(x)$定义为：

$$f^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

x=a 处的导数就是此时的斜率。在该斜率的有限差分近似中，我们可以使用点 $x=a$ 附近的函数值来实现目标。不同的应用中使用了多种有限差分公式，下面介绍其中的三种，其中导数是使用两点的值计算的。

前向差分是使用连接 $\left(x_j, f\left(x_j\right)\right) 和 \left(x_{j+1}, f\left(x_{j+1}\right)\right)$​的线来估计 $x_j$处函数的斜率：

$$f^{\prime}\left(x_j\right)=\frac{f\left(x_{j+1}\right)-f\left(x_j\right)}{x_{j+1}-x_j}$$

后向差分是使用连接 $\left(x_{j-1}, f\left(x_{j-1}\right)\right)$和 $\left(x_j, f\left(x_j\right)\right)$ 的线来估计 $x_j$处函数的斜率

$$f^{\prime}\left(x_j\right)=\frac{f\left(x_j\right)-f\left(x_{j-1}\right)}{x_j-x_{j-1}}$$

中间差分是使用连接 $\left(x_{j-1}, f\left(x_{j-1}\right)\right) 和 \left(x_{j+1}, f\left(x_{j+1}\right)\right)$ 的线来估计$x_j$ 处函数的斜率：

$$f^{\prime}\left(x_j\right)=\frac{f\left(x_{j+1}\right)-f\left(x_{j-1}\right)}{x_{j+1}-x_{j-1}}$$

为了导出$f$ 导数的近似值 ，我们回到泰勒级数。对于任意函数$f(x)$，对于任意函数 $f(x)$ ， f 围绕 $a=x_j$的泰勒级数是 $f(x)=\frac{f\left(x_j\right)\left(x-x_j\right)^0}{0!}+\frac{f^{\prime}\left(x_j\right)\left(x-x_j\right)^1}{1!}+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_j\right)\left(x-x_j\right)^2}{2!}+\frac{f^{\prime \prime \prime}\left(x_j\right)\left(x-x_j\right)^3}{3!}+\cdots$

如果 $x$ 位于间距为 $h$ 的点网格上，我们可以计算 $x=x_{j+1}$ 处的泰勒级数以获得

$$f\left(x_{j+1}\right)=\frac{f\left(x_j\right)\left(x_{j+1}-x_j\right)^0}{0!}+\frac{f^{\prime}\left(x_j\right)\left(x_{j+1}-x_j\right)^1}{1!}+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_j\right)\left(x_{j+1}-x_j\right)^2}{2!}+\frac{f^{\prime \prime \prime}\left(x_j\right)\left(x_{j+1}-x_j\right)^3}{3!}+\cdots$$

代入 $h=x_{j+1}-x_j$ 并求解 $f^{\prime}\left(x_j\right)$ 得出方程

$$f^{\prime}\left(x_j\right)=\frac{f\left(x_{j+1}\right)-f\left(x_j\right)}{h}+\left(-\frac{f^{\prime \prime}\left(x_j\right) h}{2!}-\frac{f^{\prime \prime \prime}\left(x_j\right) h^2}{3!}-\cdots\right)$$

括号中的项 $-\frac{f^{\prime \prime}\left(x_j\right) h}{2!}-\frac{f^{\prime \prime \prime}\left( x_j\right) h^2}{3!}-\cdots$ 被称为 $h$ 的高阶项。高阶项可以重写为

$$-\frac{f^{\prime \prime}\left(x_j\right) h}{2!}-\frac{f^{\prime \prime \prime}\left(x_j\right) h^2}{3!}-\cdots=h(\alpha+\epsilon(h))$$

其中 $\alpha$ 是某个常数，$\epsilon(h)$ 是 $h$ 的函数，当 $h$ 变为 0 时，该函数也变为 0。你可以用一些代数来验证这是真的。我们使用缩写“O(h)”来表示$h(\alpha+\epsilon(h))$，并且一般来说，我们使用缩写“$O\left(h^p\right)$”来表示$h^p(\alpha+\epsilon(h))$

将 O(h) 代入前面的方程得出

$$f^{\prime}\left(x_j\right)=\frac{f\left(x_{j+1}\right)-f\left(x_j\right)}{h}+O(h)$$

这给出了近似导数的前向差分公式为

$$f^{\prime}\left(x_j\right) \approx \frac{f\left(x_{j+1}\right)-f\left(x_j\right)}{h}$$

我们说这个公式是 O(h)。

💦示例：余弦函数 f(x)=\cos (x)。我们知道\cos(x)的导数是-\sin(x)​。尽管在实践中我们可能不知道我们求导的基础函数，但我们使用简单的例子来说明上述数值微分方法及其准确性。以下代码以数值方式计算导数。

 import numpy as np
 import matplotlib.pyplot as plt
 plt.style.use('seaborn-poster')
 %matplotlib inline

 h = 0.1
 x = np.arange(0, 2*np.pi, h) 
 y = np.cos(x) 
 ​
 forward_diff = np.diff(y)/h 
 x_diff = x[:-1:] 
 exact_solution = -np.sin(x_diff) 
 ​
 plt.figure(figsize = (12, 8))
 plt.plot(x_diff, forward_diff, '--', \
          label = 'Finite difference approximation')
 plt.plot(x_diff, exact_solution, \
          label = 'Exact solution')
 plt.legend()
 plt.show()
 ​
 max_error = max(abs(exact_solution - forward_diff))
 print(max_error)

 0.049984407218554114

如上图所示，两条曲线之间存在微小的偏移，这是由于数值导数求值时的数值误差造成的。两个数值结果之间的最大误差约为 0.05，并且预计会随着步长的增大而减小。

💦示例：以下代码使用递减步长 h 的前向差分公式计算 f(x)=\cos (x) 的数值导数。然后，它绘制近似导数和真实导数之间的最大误差与 h 的关系，如生成的图形所示。

 h = 1
 iterations = 20 
 step_size = [] 
 max_error = [] 
 ​
 for i in range(iterations):
 ​
     h /= 2 
     step_size.append(h) 
     x = np.arange(0, 2 * np.pi, h) 
     y = np.cos(x) 
     forward_diff = np.diff(y)/h 
     x_diff = x[:-1] 
     exact_solution = -np.sin(x_diff) 
     
     max_error.append(\
             max(abs(exact_solution - forward_diff)))
 plt.figure(figsize = (12, 8))
 plt.loglog(step_size, max_error, 'v')
 plt.show()

双对数空间中直线的斜率为 1 ；因此，误差与h^1成正比，这意味着，正如预期的那样，前向差分公式为O(h)。