🍍Python(符号计算常微分方程)谐振子牛顿运动方程

关键词

Python | 符号计算 | 计算机代数系统 | 常微分方程 | 谐振子 | 牛顿运动方程 | 恒力 | 线性恢复力 | 摩擦

梗概

牛顿运动方程

牛顿运动方程可以写成以下形式

$\mathbf{F}=\frac{d \mathbf{p}}{d t}=m \frac{d \mathbf{v}}{d t}=m \frac{d^2 \mathbf{r}}{d t^2}$

恒力问题

具有恒定力的问题意味着恒定的加速度。 典型的例子是一个在倾斜平面上滑动的块，其中质量为 $m$的块同时受到重力和摩擦力的作用。 合力 F 由重力$F_g$ 、法向力 $N$ 和摩擦力 $f_f$ 的矢量和给出

$\mathbf{F}=\mathbf{F}_g+\mathbf{N}+\mathbf{f}_f=m \mathbf{a}$

线性恢复力

一类重要的问题是线性恢复力，服从胡克定律。这种情况下的运动方程是

$F(x)=-k x=m \ddot{x}$

符号计算谐振子牛顿运动方程

不考虑摩擦简单示例

让我们从一个简单的物理学原型微分方程开始：谐振子。 这个方程式出现在物理学的所有领域，不同的背景下：不仅是力学，还有电动力学、量子力学、固态物理学等等。 谐振子的牛顿运动方程为

$\ddot{x}+\omega^2 x=0$

考虑摩擦示例

到目前为止，我们的谐振子是自由的，没有感觉到任何摩擦。我们将在常微分方程中添加一个与速度成正比的摩擦项：

$\ddot{x}+2 \beta \dot{x}+\omega^2 x=0$

考虑驱动力和摩擦示例

当我们在常微分方程的右侧添加一项时，这对应于添加一个驱动力。具体来说，添加正弦力：

$\ddot{x}+2 \beta \dot{x}+\omega^2 x=F_0 \sin \omega_0 t$

Python计算机代数源代码

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